آنالیز کواریانس

چکیده مقاله :
تحلیل واریانس و آنالیز کوواریانس روشهایی برای ارزیابی مطالعاتی هستند که در آنها متغیر وابسته پیوسته است. اگر متغیرهای مستقل همه از نوع طبقه‌بندی (اسمی، دوگانه یا ترتیبی) باشند، از آنالیز واریانس استفاده می‌شود. اگر برخی از متغیرهای مستقل مقوله ای و برخی پیوسته باشند، آنالیز کواریانس مناسب است. به طورکلی در این مقاله به بررسی کامل تحلیل کواریانس می پردازیم. جزئیات کامل را توضیح داده در رابطه با کاربردهای آن صحبت کرده ، مفروضات لازم برای شروع آنالیز گفته شده و روش استفاده از ان در نرم افزار SPSS به همراه یک مثال تست را آورده ایم.

1- ANCOVA یا آنالیز کواریانس چیست؟

ANCOVA ترکیبی از تحلیل واریانس (ANOVA) و رگرسیون است و شبیه به ANOVA فاکتوریل است، زیرا می تواند به شما بگوید چه اطلاعات اضافی را می توانید با در نظر گرفتن یک متغیر مستقل (عامل) در یک زمان، بدون تأثیر سایرین به دست آورید. از آن می توان برای موارد زیر استفاده کرد:

• توسعه رگرسیون چندگانه برای مقایسه خطوط رگرسیون چندگانه،
• گسترش تجزیه و تحلیل واریانس.

اگرچه ANCOVA معمولاً زمانی استفاده می‌شود که بین گروه‌های پایه شما تفاوت وجود داشته باشد (Senn، 1994 ; overal، 1993)، همچنین می‌تواند در تحلیل پیش‌آزمون/پس‌آزمون استفاده شود، زمانی که رگرسیون به میانگین بر اندازه‌گیری پس‌آزمون شما تأثیر می‌گذارد (Bonate، 2000). این تکنیک همچنین در تحقیقات غیرتجربی (مثلاً نظرسنجی) و برای شبه آزمایش‌ها (زمانی که شرکت‌کنندگان در مطالعه نمی‌توانند به طور تصادفی تخصیص داده شوند) رایج است. با این حال، این کاربرد خاص ANCOVA همیشه توصیه نمی شود (Vogt, 1999).

جهت آشنایی بیشتر می توانید مقاله زیر را با عنوان تحلیل آماری چیست مطالعه نمایید.

• رگرسیون چیست؟

تعریف ساده تر: تجزیه و تحلیل کوواریانس (ANCOVA) در بررسی تفاوت در مقادیر میانگین متغیرهای وابسته که با تأثیر متغیرهای مستقل کنترل‌شده مرتبط هستند و در عین حال تأثیر متغیرهای مستقل کنترل‌نشده را در نظر می‌گیرد، استفاده می‌شود.

آنالیز کوواریانس در زمینه کسب و کار استفاده می شود. این سند قابلیت استفاده از تجزیه و تحلیل کوواریانس را در تحقیقات بازار به تفصیل شرح می دهد. تجزیه و تحلیل کوواریانس می تواند برای تعیین تغییر در قصد مصرف کننده برای خرید یک نام تجاری خاص با توجه به سطوح مختلف قیمت و نگرش مصرف کننده نسبت به آن برند استفاده شود. ANCOVA می تواند برای تعیین اینکه چگونه تغییر در سطح قیمت یک کالای خاص بر مصرف آن کالا توسط مصرف کنندگان تأثیر می گذارد استفاده شود.

2- توسعه دهنده رگرسیون چندگانه

هنگامی که به عنوان اکستنشن رگرسیون چندگانه استفاده می شود، ANCOVA می تواند تمام خطوط رگرسیون را آزمایش کند تا ببیند زمانی که شیب های همه خطوط برابر است کدامیک دارای عرض Y متفاوت هستند.
مانند تجزیه و تحلیل رگرسیون، آنالیز کواریانس شما را قادر می سازد تا ببینید که چگونه یک متغیر مستقل بر روی یک متغیر وابسته عمل می کند. آنالیز کواریانس هرگونه اثر متغیرهای کمکی را که متغیرهایی هستند که نمی‌خواهید مطالعه کنید، حذف می‌کند. برای مثال، ممکن است بخواهید مطالعه کنید که چگونه سطوح مختلف مهارت های تدریس بر عملکرد دانش آموزان در ریاضی تأثیر می گذارد. ممکن است نتوان به طور تصادفی دانش آموزان را به کلاس های درس اختصاص داد. شما باید تفاوت‌های سیستماتیک بین دانش‌آموزان کلاس‌های مختلف را در نظر بگیرید (مثلاً سطوح مختلف اولیه مهارت‌های ریاضی بین دانش‌آموزان با استعداد و معمولی).

مثال

شاید بخواهید بدانید که آیا یک داروی جدید برای افسردگی موثر است یا خیر. این مطالعه دارای سه گروه درمانی و یک گروه کنترل است. آنالیز واریانس معمولی می تواند به شما بگوید که آیا درمان موثر است یا خیر. انالیز کواریانس می تواند سایر عواملی را که ممکن است بر نتیجه تأثیر بگذارد کنترل کند. به عنوان مثال: زندگی خانوادگی، وضعیت شغلی یا مصرف مواد مخدر.

3- توسعه دهنده آنالیز واریانس

به عنوان توسعه دهنده آنالیز واریانس، ANCOVA می تواند به دو صورت استفاده شود (Leech et. al, 2005):

1. برای کنترل متغیرهای کمکی (معمولاً پیوسته یا متغیرهایی در یک مقیاس خاص) که تمرکز اصلی مطالعه شما نیستند.
2. مطالعه ترکیبی از متغیرهای طبقه بندی شده و پیوسته، یا متغیرها در مقیاسی به عنوان پیش بینی کننده. در این مورد، متغیر کمکی یک متغیر مورد علاقه است (برخلاف متغیری که می خواهید آن را کنترل کنید).

4- واریانس درون گروهی

آنالیز کواریانس می تواند واریانس درون گروهی را توضیح دهد. واریانس های غیر قابل توضیح را از آزمون ANOVA می گیرد و سعی می کند آنها را با متغیرهای سردرگم کننده (یا سایر متغیرهای کمکی) توضیح دهد. می توانید از متغیرهای کمکی متعدد استفاده کنید. با این حال، هرچه بیشتر وارد شوید، درجه آزادی کمتری خواهید داشت. وارد کردن یک متغیر کمکی ضعیف ایده خوبی نیست زیرا قدرت آماری را کاهش می دهد. هرچه قدرت کمتر باشد، احتمال کمتری وجود دارد که بتوانید به نتایج آزمایش خود اعتماد کنید. متغیرهای کمکی قوی اثر معکوس دارند: می توانند قدرت آزمون شما را افزایش دهند.

5- مراحل کلی برای آنالیز کواریانس

مراحل کلی عبارتند از:

1. یک رگرسیون بین متغیرهای مستقل و وابسته اجرا کنید.
2. مقادیر باقیمانده را از نتایج مشخص کنید.
3. ANOVA را روی باقیمانده ها اجرا کنید.

6- مفروضات برای ANCOVA

مفروضات اساساً همان مفروضات ANOVA هستند. قبل از اجرای آزمون، صحت موارد زیر را بررسی کنید:

1. متغیرهای مستقل (حداقل دو عدد) باید متغیرهای طبقه ای باشند.
2. متغیر وابسته و کمکی باید متغیرهای پیوسته باشند (در مقیاس فاصله ای یا مقیاس نسبت اندازه گیری شوند.)
3. مطمئن شوید که مشاهدات مستقل هستند. به عبارت دیگر، افراد را در بیش از یک گروه قرار ندهید.

نرم افزارها معمولاً می توانند مفروضات زیر را بررسی کند.

1. نرمال بودن: متغیر وابسته باید برای هر دسته از متغیرهای مستقل تقریباً نرمال باشد.
2. داده ها باید همگنی واریانس را نشان دهند.
3. متغیر کمکی و وابسته (در هر سطح از متغیر مستقل) باید به صورت خطی مرتبط باشند.
4. داده های شما باید برای هر مقدار X از Y همسان باشد.
5. متغیر کمکی و متغیر مستقل نباید با هم تعامل داشته باشند. به عبارت دیگر، شیب های رگرسیون باید همگن باشد.

توضیح بیشتر در رابطه با فرضیات تحلیل کواریانس

تحلیل کوواریانس شامل حداقل یک متغیر مستقل طبقه‌بندی و حداقل یک متغیر مستقل با ماهیت فاصله‌ای است. در تجزیه و تحلیل کوواریانس ، متغیر مستقل مقوله ای به عنوان یک عامل نامیده می شود، در حالی که متغیر مستقل ماهیت فاصله ای به عنوان متغیر کمکی نامیده می شود. وظیفه متغیر کمکی در آنالیز کوواریانس حذف تغییرات خارجی از متغیر وابسته است. آنالیز کوواریانس در مواردی که متغیر کمکی به صورت خطی با متغیرهای وابسته مرتبط است و با عوامل مرتبط نیست، بیشترین کاربرد را دارد.

مشابه تحلیل واریانس، تحلیل کوواریانس نیز مفروضات مشابهی را در نظر می گیرد. مفروضات آنالیز کوواریانس به شرح زیر است:

• واریانس در تحلیل کوواریانس که در حال تجزیه و تحلیل است باید مستقل باشد.
• در مورد بیش از یک متغیر مستقل، واریانس در تحلیل کوواریانس باید در هر سلولی که توسط متغیرهای مستقل طبقه‌بندی می‌شود، ماهیت همگن داشته باشد.

داده ها باید از جامعه به روش نمونه گیری تصادفی در آنالیز کوواریانس استخراج شود.
تحلیل کواریانس با استفاده از رگرسیون خطی انجام می شود. یعنی فرض می‌کند که رابطه بین متغیر مستقل و متغیر وابسته باید ماهیت خطی داشته باشد.
در تحلیل کوواریانس، انواع مختلف متغیرهای مستقل از جمعیت نرمال با میانگین صفر در نظر گرفته شده است.
ANCOVA فرض می‌کند که ضرایب رگرسیون در هر گروه از متغیر مستقل باید ماهیت همگن داشته باشند.
تحلیل کوواریانس زمانی اعمال می شود که یک متغیر مستقل دارای همبستگی قوی با متغیر وابسته باشد. اما، مهم است که به یاد داشته باشید که متغیرهای مستقل در در هنگام پیش‌بینی مقدار متغیر وابسته، با سایر متغیرهای مستقل تعاملی ندارند. تجزیه و تحلیل کوواریانس به طور کلی برای متعادل کردن اثر متغیرهای غیر متقابل قوی‌تر به کار می‌رود. برای جلوگیری از عدم قطعیت بین متغیرهای مستقل، لازم است اثر متقابل در تحلیل کوواریانس متعادل شود.
تست کوواریانس تنها در مواردی اعمال می شود که متغیر مستقل متوازن در مقیاس پیوسته اندازه گیری شود.

مثال:

فرض کنید یک محقق می‌خواهد تأثیر تبلیغات در فروشگاه را بر درآمد فروش تعیین کند. در این مورد، آنالیز کواریانس یک تکنیک مناسب است زیرا تغییر در نگرش مصرف کننده نسبت به فروشگاه به طور خودکار بر درآمد فروش فروشگاه تأثیر می گذارد. بنابراین متغیر وابسته درآمد فروش فروشگاه خواهد بود. و متغیر مستقل نگرش مصرف کننده در خواهد بود.

7- فرضیات آنالیز کواریانس در SPSS

نکته ای در مورد اجرای ANCOVA در SPSS: این یکی از تست های پیچیده است، به این دلیل که شما باید فرضیات مختلفی را آزمایش کنید. مراحل در زیر مشخص شده است.

• همه مفروضات انالیز واریانس باید مانند نمونه های تصادفی برآورده شوند.
• متغیر کمکی باید به طور منطقی با متغیر مستقل همبستگی داشته باشد.
• همگنی شیب های رگرسیون: شیب خطوط رگرسیون نشان دهنده رابطه بین متغیر کمکی و متغیر مستقل است.

8- اجرای آزمون

در این آزمون، آزمایش می‌کنیم تا ببینم آیا یک pretest یک متغیر کمکی برای post test است، برای انواع روش‌های تدریس مختلف (در کلاس، آنلاین و غیره). فرضیه صفر برای آزمون این است که میانگین ها برای همه گروه ها برابر است.

مرحله 1: آزمایشی را برای نرمال بودن (برای آزمایش این فرض) اجرا کنید.

• بر روی explore ← Descriptive statistics ← analysis کلیک کنید.
• pretest-post test را به کادر Dependent List منتقل کنید.
• روی دکمه “Statistics” کلیک کنید، “Descriptive Statistics” را انتخاب کنید.
• روی «ادامه» و سپس «OK» کلیک کنید.
• دکمه “Plots” را انتخاب کنید.
• “Histogram” و “Normality Plots” را علامت بزنید.
• روی «ادامه» و سپس «OK» کلیک کنید.
• خروجی تست های نرمال را بخوانید. شما در اینجا مقادیر p کوچک را نمی خواهید. اگر مقادیر p شما بزرگ است، با ANCOVA در SPSS ادامه دهید.

مرحله 2: همگنی شیب های رگرسیون را بررسی کنید.

• روی analyze → General Linear Model → Univariate کلیک کنید.
• post test را به کادر متغیر وابسته منتقل کنید.
• متدولوژی (IV خود) را به کادر Fixed Factors منتقل کنید.
• روی Pretest کلیک کنید و آن را به Covariate منتقل کنید.
• روی Model و سپس «Build Terms» کلیک کنید. توجه: مطمئن شوید که Interaction در کادر مرکزی «Build Terms» نشان داده می‌شود.
• متدولوژی و pre test را به کادر Model در سمت راست منتقل کنید، سپس ترکیب این دو را به پانل سمت راست منتقل کنید.
• روی OK کلیک کنید.
• در قسمت Methodology*Pretest به دنبال مقدار p بزرگ بگردید. این به شما می گوید که شیب های رگرسیون همگن هستند، بنابراین می توانید ادامه دهید.

مرحله 3: آنالیز کواریانس یعنی همان ANCOVA را اجرا کنید.

• روی Analysis کلیک کنید،
• General Linear Model → Univariate.
• روی “reset” کلیک کنید.
• Post Test را به کادر Dependent Variable منتقل کنید.
• روش شناسی (IV) را به عوامل ثابت منتقل کنید.
• Pretest را به کادر Covariate منتقل کنید.
• روی Model → Build Terms کلیک کنید.
• متدولوژی (IV) را به پانل مدل منتقل کنید.
• Pretest (Cov.) را به پانل Model منتقل کنید.
• روی “continue” کلیک کنید.
• میانگین EM را کلیک کنید.
• متدولوژی را به “Display Means” منتقل کنید و سپس کادر “Compare Main Effects” را انتخاب کنید.
• در گزینه ها، آمار توصیفی و تست های همگن را انتخاب کنید.
• روی Continue و سپس OK کلیک کنید.

مرحله 4: نتایج را بخوانید.

مهم: مطمئن شوید که مقدار p بزرگی برای تست Levene وجود دارد. اگر مقدار p کوچکی وجود داشته باشد (سطح آلفای پیش فرض SPSS 5٪ است)، نمی توانید ادامه دهید. ممکن است بخواهید به جای آن یک تست ناپارامتریک اجرا کنید.

• overall significance of the IV (روش شناسی) و pre test (متغیرهای کمکی) را در Between-Subjects Effects بررسی کنید. دوباره به دنبال مقادیر p کوچک باشید. اگر این نتایج قابل توجه است، می توانید ادامه دهید.
• Pairwise significance را بررسی کنید. مقادیر p کوچک در اینجا به شما می گوید که آیا می توانید فرضیه صفر را که میانگین ها برابر هستند رد کنید.