تفاوت انحراف استاندارد و انحراف میانگین

چکیده مقاله :
یکی از مباحث مهم در تحلیل آماری انحراف استاندارد (انحراف معیار) می باشد که با انحراف میانگین بعضا اشتباه گرفته می شود. اول، یک خلاصه سریع: انحراف استاندارد و میانگین مطلق یا انحراف میانگین هر دو راه هایی برای بیان پراکندگی داده های نمونه برداری شده هستند. اگر قدر مطلق انحرافات نمونه را از میانگین بگیرید، میانگین یا انحراف متوسط را بدست می آورید. اگر به جای آن انحرافات را مربع کنید، میانگین مربعات واریانس و جذر واریانس انحراف استاندارد است. پس در این مقاله به جواب سوال خود مبنی بر تفاوت انحراف استاندارد و انحراف میانگین خواهید رسید که اکثرا به جاری یک دیگر به کار می روند اما تفاوت های جزئی با تفاسیر کمی متفاوت را ارائه می دهند.

1- انحراف میانگین چه تفاوتی با انحراف معیار دارد ؟

دو تا از رایج‌ترین روش‌ها برای اندازه‌گیری تغییرپذیری یا نوسانات در مجموعه‌ای از داده‌ها، انحراف معیار و انحراف متوسط هستند که به عنوان انحراف مطلق نیز شناخته می‌شوند. اگرچه این دو اندازه گیری مشابه هستند، اما به طور متفاوتی محاسبه می شوند و دیدگاه های کمی متفاوت از داده ها ارائه می دهند.

تعیین نوسانات – یعنی انحراف از مرکز – در امور مالی مهم است، بنابراین متخصصان حسابداری، سرمایه گذاری و اقتصاد باید با هر دو مفهوم آشنا باشند.

نکات کلیدی

• انحراف استاندارد رایج ترین معیار تغییرپذیری است و اغلب برای تعیین نوسانات ابزارهای مالی و بازده سرمایه گذاری استفاده می شود.
• انحراف معیار یا همان انحراف استاندارد مناسب ترین معیار تغییرپذیری در هنگام استفاده از نمونه جامعه، زمانی که میانگین بهترین معیار مرکز است و زمانی که توزیع داده ها نرمال است، در نظر گرفته می شود.
• برخی استدلال می‌کنند که انحراف متوسط یا انحراف مطلق میانگین سنج بهتری برای تغییرپذیری زمانی است که نقاط پرت دور وجود داشته باشد یا داده‌ها به خوبی توزیع نشده باشند.

جهت آشنایی بیشتر می توانید مقاله زیر را با عنوان تحلیل آماری چیست مطالعه نمایید.

• تحلیل آماری چیست ؟

2- انحراف استاندارد

انحراف استاندارد رایج ترین معیار تغییرپذیری است و اغلب برای تعیین نوسانات بازارها، ابزارهای مالی و بازده سرمایه گذاری استفاده می شود. برای محاسبه انحراف معیار:

1. میانگین یا میانه نقاط داده را با جمع کردن آنها و تقسیم کل بر تعداد نقاط داده بیابید.
2. میانگین را از هر نقطه داده کم کنید و اختلاف هر نتیجه را مربع کنید.
3. میانگین آن مجذور اختلافات و سپس جذر میانگین را پیدا کنید.

مجذور کردن اختلافات بین هر نقطه و میانگین از مسئله اختلاف منفی برای مقادیر کمتر از میانگین جلوگیری می کند، اما به این معنی است که واریانس دیگر در واحد اندازه گیری داده اصلی نیست. در نظر گرفتن جذر به این معنی است که انحراف معیار به واحد اندازه گیری اصلی باز می گردد و تفسیر و استفاده در محاسبات بعدی آسان تر است.

درنتیجه انحراف معیار یکی از رایج‌ترین روش‌های اندازه‌گیری پراکندگی یک مجموعه داده است که به صورت زیر محاسبه می شود:

انحراف استاندارد = ( Σ(xi – x)² / n)√

3- انحراف میانگین 

انحراف متوسط یا میانگین انحراف مطلق، مشابه انحراف معیار محاسبه می‌شود، اما برای دور زدن موضوع تفاوت‌های منفی بین نقاط داده و میانگین آنها، از مقادیر مطلق به جای مربع استفاده می‌کند.

برای محاسبه انحراف میانگین:

1. میانگین تمام نقاط داده را محاسبه کنید.
2. تفاوت بین میانگین و هر نقطه داده را محاسبه کنید.
3. میانگین مقادیر مطلق آن تفاوت ها را محاسبه کنید.

درنتیجه یک راه جایگزین برای اندازه گیری گسترش مشاهدات در یک مجموعه داده، انحراف میانگین یا به طور دقیق تر و صحیح تر میانگین انحراف مطلق است.

به صورت زیر محاسبه می شود:

میانگین انحراف مطلق = Σ|xi – x| / n

4- تفاوت های انحراف معیار و انحراف میانگین

انحراف استاندارد اغلب برای اندازه گیری نوسانات بازده از صندوق های سرمایه گذاری یا استراتژی ها استفاده می شود زیرا می تواند به اندازه گیری نوسانات کمک کند. نوسانات بالاتر عموماً با ریسک بالاتر زیان همراه است، بنابراین سرمایه گذاران می خواهند بازده بالاتری را از صندوق هایی ببینند که نوسانات بالاتری ایجاد می کنند. به عنوان مثال، یک صندوق شاخص سهام باید انحراف معیار نسبتاً کمی در مقایسه با صندوق رشد داشته باشد.

میانه میانگین یا میانگین انحراف مطلق، نزدیکترین جایگزین برای انحراف معیار در نظر گرفته می شود. همچنین برای سنجش نوسانات در بازارها و ابزارهای مالی استفاده می شود، اما کمتر از انحراف استاندارد استفاده می شود.

به گفته ریاضیدانان، زمانی که یک مجموعه داده از توزیع نرمال برخوردار است – یعنی مقادیر پرت زیادی وجود ندارد – انحراف استاندارد معمولاً معیار ترجیحی تغییرپذیری است. اما هنگامی که نقاط پرت بزرگ وجود دارد، انحراف استاندارد سطوح بالاتری از پراکندگی (یا انحراف از مرکز) نسبت به انحراف مطلق میانگین را ثبت می کند.

به بیان دیگر انحراف استاندارد عددی را برای ما به ارمغان می‌آورد که نشان‌دهنده «استاندارد» یا انحراف معمولی یک مشاهده از میانگین است. اما میانگین انحراف مطلق به ما عددی را می‌دهد که نشان‌دهنده میانگین انحراف مشاهدات از میانه است.

از آنجایی که انحراف معیار اختلافات مجذور را پیدا می کند، همیشه برابر یا بزرگتر از میانگین انحراف مطلق خواهد بود. هنگامی که نقاط پرت شدید وجود داشته باشد، انحراف معیار به طور قابل توجهی بزرگتر از میانگین انحراف مطلق خواهد بود. مثال زیر این نکته را نشان می دهد.

5- مثال

فرض کنید مجموعه داده زیر شامل 8 مقدار را داریم:

3 – 5 – 6 – 8 – 11 – 14 – 17 – 24

میانگین 11 می شود.

بنابراین، میانگین انحراف مطلق را به صورت زیر محاسبه می کنیم:

5.5 = 8/(|3-11| + |5-11| + |6-11| + |8-11| + |11-11| + |14-11| + |17-11| + |24- 11|)

و ما انحراف معیار را به صورت زیر محاسبه می کنیم:

6.595=(8/(²(3-11) + ²(5-11) + ²(6-11) + ²(8-11) + ²(11-11) + ²(14-11) + ²(17-11) + ²(24-11))√)

همانطور که قبلا ذکر شد، انحراف معیار همیشه برابر یا بزرگتر از میانگین انحراف مطلق خواهد بود.

با این حال، تفاوت بین انحراف استاندارد و میانگین انحراف مطلق بسیار زیاد خواهد بود اگر در مجموعه داده‌ها مقادیر پرت شدید وجود داشته باشد. به عنوان مثال، مجموعه داده زیر را با یک نقطه پرت شدید برای آخرین مقدار در نظر بگیرید:

3 – 5 – 6 – 8 – 11 – 14 – 17 – 200

به نظر می رسد که انحراف استاندارد برای این مجموعه داده 63.27 است در حالی که میانگین انحراف مطلق 41.75 است.

نقطه پرت شدید باعث می شود که انحراف معیار بسیار بزرگتر از میانگین انحراف مطلق باشد.

مقالات پیشنهادی دیگر:

• برازش چیست ؟

• تعریف جمعیت در آمار

• خطای استاندارد چیست ؟

• مد چیست و چگونه محاسبه می شود

• آمار توصیفی چیست

• تفاوت داده کاوی و یادگیری ماشین

• داده کاوی یا دیتا ماینینگ جیست ؟

• درخت تصمیم چیست ؟