ضریب تعیین R-Squared: تعریف، فرمول، کاربرد و محدودیت ها

چکیده مقاله :
ضریب تعیین یا R-Squared یک اندازه گیری آماری است که نسبت واریانس را در متغیر وابسته تعیین می کند که می تواند توسط متغیر مستقل توضیح داده شود. به بیان دیگر R-Squared (R² یا ضریب تعیین) یک معیار آماری در یک مدل رگرسیونی است که نسبت واریانس در متغیر وابسته را تعیین می کند که می تواند توسط متغیر مستقل توضیح داده شود. به عبارت دیگر، r-squared نشان می دهد که چقدر داده ها با مدل رگرسیونی (خوبی برازش) مطابقت دارند. در این محتوا به بررسی کامل این مفهوم می پردازیم.

1- R-Squared چیست؟

R-squared (R2) یا ضریب تعیین یک اندازه گیری آماری است که نشان دهنده نسبت واریانس برای یک متغیر وابسته است که توسط یک متغیر مستقل در یک مدل رگرسیونی توضیح داده شده است. رگرسیون چیست؟

در حالی که همبستگی قدرت رابطه بین یک متغیر مستقل و یک متغیر وابسته را توضیح می‌دهد، R-squared میزان واریانس یک متغیر را توضیح می دهد که واریانس متغیر دوم را توضیح می دهد. بنابراین، اگر R2 یک مدل 0.50 باشد، تقریباً نیمی از تغییرات مشاهده شده را می توان با ورودی های مدل توضیح داد.

مفاهیم کلیدی

• R-squared یا ضریب تعیین یک معیار آماری است که نشان می دهد چه مقدار از تغییرات یک متغیر وابسته توسط یک متغیر مستقل در یک مدل رگرسیونی توضیح داده می شود.
• در سرمایه گذاری، R-squared به طور کلی به عنوان درصدی از حرکات قیمت یک صندوق یا اوراق بهادار تفسیر می شود که می تواند با حرکت در یک شاخص معیار توضیح داده شود.
• R-squared 100% به این معنی است که تمام حرکات یک سکیوریتی (یا سایر متغیرهای وابسته) به طور کامل با حرکات در شاخص (یا هر متغیر مستقل دیگری که به آن علاقه دارید) توضیح داده می شود.

• تحلیل آماری

R-squared می تواند هر مقداری بین 0 تا 1 داشته باشد. اگرچه معیار آماری بینش های مفیدی را در مورد مدل رگرسیون ارائه می دهد، کاربر نباید در ارزیابی یک مدل آماری فقط به یک اندازه گیری تکیه کند. این شکل اطلاعاتی را در مورد رابطه علیت بین متغیرهای مستقل و وابسته فاش نمی کند.

علاوه بر این، درستی مدل رگرسیونی را نشان نمی دهد. بنابراین، کاربر باید همیشه با تجزیه و تحلیل r-squared به همراه سایر متغیرهای یک مدل آماری، در مورد مدل نتیجه گیری کند.

فرمول ضریب تعیین R-Squared

محاسبه R-squared به چندین مرحله نیاز دارد. این شامل گرفتن نقاط داده (مشاهدات) متغیرهای وابسته و مستقل و یافتن خط بهترین برازش، اغلب از مدل رگرسیون است. از آنجا، شما می توانید مقادیر پیش بینی شده را محاسبه کنید، مقادیر واقعی را کم کنید و نتایج را مربع کنید. با این کار لیستی از خطاها مجذوب می شود که سپس جمع می شود و با واریانس غیر قابل توضیح برابر می شود.

• برازش چیست؟

برای محاسبه واریانس کل، باید میانگین مقدار واقعی را از هر یک از مقادیر واقعی کم کنید، نتایج را مربع کنید و آنها را جمع کنید. از آنجا، مجموع اولین خطاها (واریانس غیرقابل توضیح) را بر مجموع دوم (واریانس کل) تقسیم کنید، نتیجه را از یک کم کنید و R-squared خواهید داشت.

مفهوم R-Squared یا ضریب تعیین چیست؟

ضریب تعیین یا R-Squared

در سرمایه گذاری، R-squared به طور کلی به عنوان درصدی از حرکات یک صندوق یا اوراق بهادار تفسیر می شود که می تواند با حرکت در یک شاخص معیار توضیح داده شود. به عنوان مثال، یک مربع R برای یک اوراق بهادار با درآمد ثابت در مقابل یک شاخص اوراق قرضه، نسبت حرکت قیمت اوراق بهادار را که بر اساس حرکت قیمت شاخص قابل پیش بینی است، مشخص می کند.

همین امر را می توان در مورد سهام در مقابل شاخص S&P 500 یا هر شاخص مرتبط دیگری اعمال کرد. ممکن است به عنوان ضریب تعیین نیز شناخته شود.

مقادیر مربع R از 0 تا 1 متغیر است و معمولاً به صورت درصدهایی از 0٪ تا 100٪ بیان می شود. R-squared 100% به این معنی است که تمام حرکات یک سکیوریتی (یا متغیر وابسته دیگر) به طور کامل توسط حرکات در شاخص (یا هر متغیر مستقل دیگری که به آن علاقه دارید) توضیح داده می شود.

در سرمایه گذاری، R-squared بالا، از 85٪ تا 100٪، نشان می دهد که عملکرد سهام یا صندوق نسبتاً مطابق با شاخص حرکت می کند. صندوقی با R-squared پایین، در 70٪ یا کمتر، نشان می دهد که صندوق به طور کلی حرکات شاخص را دنبال نمی کند. مقدار R-squared بالاتر نشان دهنده یک رقم بتا مفیدتر است. به عنوان مثال، اگر یک سهام یا صندوق دارای ارزش ضریب تعیین نزدیک به 100٪ باشد، اما بتای آن زیر 1 باشد، به احتمال زیاد بازده تنظیم شده با ریسک بالاتری را ارائه می دهد.

• بتا چیست

• ریسک چیست

رایج ترین تفسیر r-squared این است که مدل رگرسیون چقدر داده های مشاهده شده را توضیح می دهد. به عنوان مثال، یک r-squared 60% نشان می دهد که 60% از تغییرپذیری مشاهده شده در متغیر هدف توسط مدل رگرسیون توضیح داده می شود. به طور کلی، r-squared بالاتر نشان می دهد که تنوع بیشتر توسط مدل توضیح داده شده است.

با این حال، همیشه اینطور نیست که r-squared بالا برای مدل رگرسیون خوب باشد. کیفیت اندازه گیری آماری به عوامل بسیاری مانند ماهیت متغیرهای به کار رفته در مدل، واحدهای اندازه گیری متغیرها و تبدیل داده های کاربردی بستگی دارد. بنابراین، گاهی اوقات، یک ضریب تعیین بالا می تواند مشکلات مدل رگرسیون را نشان دهد.

یک ضریب تعیین پایین به طور کلی نشانه بدی برای مدل های پیش بینی کننده است. با این حال، در برخی موارد، یک مدل خوب ممکن است مقدار کمی را نشان دهد.

هیچ قانون جهانی در مورد نحوه ترکیب معیارهای آماری در ارزیابی یک مدل وجود ندارد. زمینه آزمایش یا پیش‌بینی بسیار مهم است، و در سناریوهای مختلف، بینش از متریک می‌تواند متفاوت باشد.

تفاوت R-Squared و R-Squared تنظیم شده

R-squared فقط همانطور که در یک مدل رگرسیون خطی ساده با یک متغیر توضیحی در نظر گرفته شده است کار می کند. با یک رگرسیون چندگانه که از چندین متغیر مستقل تشکیل شده است، ضریب تعیین تنظیم شده باید به کار برده شود.

R-squared تنظیم شده قدرت توصیفی مدل های رگرسیون را که شامل تعداد متنوعی از پیش بینی کننده ها هستند، مقایسه می کند. هر پیش‌بینی‌کننده‌ای که به یک مدل اضافه می‌شود، R-squared را افزایش می‌دهد و هرگز آن را کاهش نمی‌دهد. بنابراین، به نظر می‌رسد مدلی با عبارت‌های بیشتر، تناسب بهتری داشته باشد، فقط برای این واقعیت که عبارت‌های بیشتری دارد، در حالی که ضریب تعیین تنظیم شده، اضافه شدن متغیرها را جبران می‌کند. تنها زمانی افزایش می‌یابد که عبارت جدید مدل را بالاتر از آنچه که با احتمال به دست می‌آید افزایش دهد و زمانی کاهش می‌یابد که یک پیش‌بینی‌کننده مدل را کمتر از آنچه به طور تصادفی پیش‌بینی می‌شود، افزایش دهد.

در شرایط اضافه برازش، مقدار نادرست R-squared به دست می‌آید، حتی زمانی که مدل واقعاً توانایی کاهش یافته پیش‌بینی را داشته باشد. این مورد در رابطه با R-squared تنظیم شده صدق نمی کند.

تفاوت ضریب تعیین R-Squared و بتا Beta

بتا و R-squared دو معیار مرتبط، اما متفاوت از همبستگی هستند. بتا معیاری برای ریسک نسبی است. یک صندوق سرمایه گذاری مشترک با R-squared بالا با یک معیار همبستگی زیادی دارد. اگر بتا نیز بالا باشد، ممکن است بازدهی بالاتری نسبت به معیار داشته باشد، به ویژه در بازارهای صعودی.

R-squared اندازه گیری می کند که هر تغییر در قیمت دارایی چقدر با یک معیار مرتبط است. بتا اندازه گیری می کند که این تغییرات قیمت نسبت به یک معیار چقدر بزرگ است. در کنار هم، R-squared و بتا می توانند تصویر کاملی از عملکرد مدیران دارایی به سرمایه گذاران ارائه دهند. بتای دقیقاً 1.0 به این معنی است که ریسک (نوسان‌پذیری) دارایی با معیار آن یکسان است.

در اصل، ضریب تعیین یک تکنیک تجزیه و تحلیل آماری برای استفاده عملی و قابل اعتماد بودن بتای اوراق بهادار است.

محدودیت های ضریب تعیین

R-squared تخمینی از رابطه بین حرکات یک متغیر وابسته بر اساس حرکات یک متغیر مستقل را به شما می دهد. با این حال، به شما نمی گوید که مدل انتخابی شما خوب است یا بد، و همچنین به شما نمی گوید که داده ها و پیش بینی ها مغرضانه هستند.

یک R-squared بالا یا پایین لزوماً خوب یا بد نیست. قابلیت اطمینان مدل یا اینکه آیا شما رگرسیون مناسب را انتخاب کرده اید را نشان نمی دهد. شما می توانید یک R-squared پایین برای یک مدل خوب، یا یک R² بالا برای یک مدل ضعیف و بالعکس بگیرید.

یک مقدار R-squared “خوب” چیست؟

آنچه به عنوان یک مقدار R-squared “خوب” واجد شرایط است به زمینه بستگی دارد. در برخی از زمینه ها، مانند علوم اجتماعی، حتی یک مقدار R-squared نسبتاً پایین، مانند 0.5، می تواند نسبتاً قوی در نظر گرفته شود. در زمینه‌های دیگر، استانداردهای خواندن R-squared خوب می‌تواند بسیار بالاتر باشد، مانند 0.9 یا بالاتر. در امور مالی، یک ضریب تعیین بالای 0.7 به طور کلی سطح بالایی از همبستگی را نشان می دهد، در حالی که اندازه گیری زیر 0.4 همبستگی پایین را نشان می دهد. با این حال، این قانون سختی نیست و به تحلیل خاص بستگی دارد.

مقدار ضریب تعیین 0.9 به چه معناست؟

اساساً، یک مقدار مربع آر 0.9 نشان می دهد که 90٪ از واریانس متغیر وابسته مورد مطالعه با واریانس متغیر مستقل توضیح داده می شود. به عنوان مثال، اگر یک صندوق سرمایه‌گذاری مشترک مقدار R² 0.9 نسبت به معیار خود داشته باشد، این نشان می‌دهد که 90 درصد واریانس صندوق با واریانس شاخص معیار آن توضیح داده می‌شود.

آیا ضریب تعیین یا ضریب تشخیص بالاتر بهتر است؟

در اینجا باز هم بستگی به زمینه دارد. فرض کنید به دنبال یک صندوق شاخص هستید که تا حد امکان یک شاخص خاص را ردیابی کند. در آن سناریو، شما می‌خواهید که ارزش مربع R صندوق تا حد امکان بالا باشد، زیرا هدف آن مطابقت با شاخص است. از سوی دیگر، اگر به دنبال وجوهی با مدیریت فعال هستید، ممکن است یک مقدار R-squared بالا به عنوان یک علامت بد در نظر گرفته شود که نشان می‌دهد مدیران صندوق‌ها ارزش کافی را نسبت به معیارهای خود اضافه نمی‌کنند.

جمع بندی
R-squared یا R² یا ضریب تعیین یا همان ضریب تشخیص می تواند در سرمایه گذاری و زمینه های دیگر مفید باشد، جایی که شما سعی می کنید میزان تاثیر یک یا چند متغیر مستقل بر یک متغیر وابسته را تعیین کنید. با این حال، محدودیت‌هایی دارد که آن را برای پیش‌بینی کامل مناسب نمی کند.