میانگین چیست ؟ (Mean) تعریف ریاضی و فرمول محاسبه

چکیده مقاله :
در آمار، میانگین معیاری از تمایل مرکزی است که نشان‌دهنده مقدار متوسط یک مجموعه داده است. با جمع کردن تمام مقادیر موجود در مجموعه داده و تقسیم بر تعداد مقادیر محاسبه می شود. میانگین یک معیار رایج در آمار است زیرا راهی سریع و آسان برای خلاصه کردن یک مجموعه داده ارائه می دهد. همچنین در مقایسه بین مجموعه داده های مختلف مفید است، زیرا میانگین می تواند به برجسته کردن هر گونه تفاوت یا شباهت بین آنها کمک کند. با این حال، توجه به این نکته مهم است که میانگین می تواند تحت تأثیر مقادیر پرت یا شدید در مجموعه داده قرار گیرد. به عنوان مثال، اگر یک مجموعه داده شامل یک مقدار بسیار بزرگ باشد، میانگین ممکن است به سمت بالا منحرف شود و آن را به معیاری غیرقابل اعتماد برای تمایل مرکزی تبدیل کند. در چنین مواردی، معیارهای دیگری مانند میانه یا مد ممکن است مناسب تر باشند. در این مقاله می خواهیم بدانیم به طور دقیق میانگین چیست ؟ و با ذکر مثال کاربرد آن ، انواع و فرمول محاسبه آن را معرفی نماییم.

1- میانگین چیست ؟

mean ، میانگین ریاضی ساده مجموعه ای از دو یا چند عدد است.

میانگین برای یک مجموعه معین از اعداد را می توان به بیش از یک روش محاسبه کرد، از جمله روش میانگین حسابی (arithmetic mean)، که از مجموع اعداد در یک سری استفاده می کند، و روش میانگین هندسی (geometric mean)، که میانگین مجموعه ای از محصولات است. با این حال، تمام روش‌های اولیه محاسبه میانگین ساده در اکثر مواقع یک نتیجه تقریبی را ایجاد می‌کنند.

جهت آشنایی بیشتر می توانید مقاله زیر را با عنوان تحلیل آماری چیست مطالعه نمایید.

• تحلیل آماری چیست ؟

نکات کلیدی

•  mean یا میانگین همان میانگین ریاضی مجموعه ای از دو یا چند عدد است.
• میانگین حسابی و میانگین هندسی دو نوع میانگین هستند که قابل محاسبه هستند.
• فرمول محاسبه میانگین حسابی جمع کردن اعداد یک مجموعه و تقسیم بر تعداد کل اعداد مجموعه است.
• فرمول محاسبه میانگین هندسی این است که تمام مقادیر یک مجموعه داده را ضرب می کنیم، سپس ریشه مجموع را برابر با مقدار مقادیر درون آن مجموعه داده می گیریم.
• میانگین به شما کمک می‌کند مجموعه‌ای از اعداد را با گفتن میانگین به شما ارزیابی کنید، و به زمینه‌سازی هر نقطه داده کمک می‌کند.

2- تعریف میانگین

میانگین یک شاخص آماری است که می تواند برای سنجش عملکرد در طول زمان استفاده شود. به طور خاص برای سرمایه گذاری، میانگین برای درک عملکرد قیمت سهام شرکت در بازه زمانی چند روز، ماه یا سال استفاده می شود.

تحلیلگری که می خواهد مسیر ارزش سهام یک شرکت را مثلاً در 10 روز گذشته اندازه گیری کند، قیمت پایانی سهام را در هر یک از 10 روز خلاصه می کند. سپس مجموع بر تعداد روزها تقسیم می شود تا میانگین حسابی به دست آید. میانگین هندسی با ضرب همه مقادیر در یکدیگر محاسبه می شود. سپس ریشه n از مجموع محصول گرفته می شود – در این مورد، ریشه دهم – برای به دست آوردن میانگین.

3- فرمول های محاسبه میانگین حسابی و میانگین هندسی

محاسبات برای میانگین حسابی و هندسی تقریباً مشابه است. مقدار محاسبه شده برای یکی تفاوت اساسی با دیگری ندارد. با این حال، تفاوت های ظریفی بین این دو رویکرد وجود دارد که منجر به اعداد متفاوت می شود.

1-3- میانگین حسابی (Arithmetic Mean)

فرمول محاسبه میانگین حسابی جمع کردن تمام ارقام و تقسیم بر تعداد ارقام استفاده شده است. برای مثال، میانگین حسابی اعداد 4 و 9 با جمع کردن 4 و 9 با یکدیگر و سپس تقسیم بر 2 (تعداد اعداد مورد استفاده ما) بدست می آید. میانگین حسابی در این مثال 6.5 است.

2-3- مزایا و معایب میانگین حسابی

مزایا

• محاسبه راحت تر است.
• برای پیگیری نتایج و ممیزی ساده تر است.
• مقدار محاسبه شده آن یک عدد محدود است.
• در محاسبات جبری کاربرد گسترده تری دارد.
• اغلب سریعترین نوع میانگین برای محاسبه است.

معایب

• به شدت تحت تأثیر اعداد پرت یا اعداد شدید خارج از مجموعه داده قرار می گیرد.
• برای توزیع های خمیده مفید نیست.
• هنگام استفاده از داده های سری زمانی (یا سری های دیگر از داده ها با مبنای متفاوت) مفید نیست.
• هر آیتم را به یک اندازه وزن می کند و از اهمیت نقاط داده تاثیرگذارتر می کاهد.

• چولگی یا خمیدگی در آمار چیست ؟

• کشیدگی در آمار چیست ؟

3-3- میانگین هندسی (Geometric Mean)

میانگین هندسی پیچیده تر است و از فرمول پیچیده تری استفاده می کند. برای بدست آوردن فرمول محاسبه میانگین هندسی، ضرب همه مقادیر در یک مجموعه داده است. سپس، ریشه مجموع را برابر با مقدار مقادیر درون آن مجموعه داده بگیرید. به عنوان مثال، برای محاسبه هندسی مقادیر 4 و 9، دو عدد را با هم ضرب کنید تا 36 به دست آید. سپس، جذر را بگیرید (چون دو مقدار وجود دارد). میانگین هندسی در این مثال 6 است.

4-3- مزایا و معایب میانگین هندسی

مزایا

• احتمال کمتری دارد که تحت تأثیر عوامل پرت شدید قرار گیرد.
• اندازه گیری دقیق تری را برای مجموعه داده های volatile بیشتر برمی گرداند.
• اثرات کامپوند را در نظر می گیرد.
• هنگام استفاده از یک مجموعه داده در مدت زمان طولانی (به دلیل ترکیب) دقیق تر است.

معایب

• اگر مقداری در مجموعه داده 0 یا منفی باشد، نمی توان از آن استفاده کرد.
• فرمول آن پیچیده تر است و به راحتی استفاده نمی شود.
• محاسبه آن شفاف نیست و حسابرسی دشوارتر است.
• شیوع کمتری دارد و به اندازه روش های دیگر استفاده نمی شود.

4- مثال از محاسبه میانگین

بیایید این را با بررسی قیمت یک سهام در یک دوره 10 روزه عملی کنیم. تصور کنید یک سرمایه گذار یک سهم از سهام را به قیمت 148.01 دلار خریداری کرده است. قیمت سهام طی 10 روز آینده نیز شامل می شود.

میانگین حسابی 0.67٪ است و صرفاً مجموع بازده تقسیم بر 10 است. با این حال، میانگین حسابی بازده تنها زمانی دقیق است که نوسانی وجود نداشته باشد، که در بازار سهام تقریبا غیرممکن است.

نکته : علاوه بر میانگین های حسابی و هندسی، میانگین هارمونیک با تقسیم تعداد مشاهدات بر reciprocal هر عدد در سری محاسبه می شود. ابزارهای هارمونیک اغلب در امور مالی برای میانگین داده‌هایی که در کسری، نسبت یا درصد اتفاق می‌افتند، مانند بازده، بازده یا مضرب قیمت استفاده می‌شوند.

عوامل میانگین هندسی در ترکیب و نوسانات، آن را به معیار بهتری از بازده متوسط تبدیل می کند. از آنجایی که نمی توان ریشه یک مقدار منفی را به دست آورد، یک عدد را به تمام درصدهای بازده اضافه کنید تا مجموع محصول یک عدد مثبت به دست آورد. ریشه 10 این عدد را بگیرید و به یاد داشته باشید که از یک کم کنید تا به عدد درصد برسید. میانگین هندسی بازده سرمایه گذار در پنج روز گذشته 0.61 درصد است. به عنوان یک قانون ریاضی، میانگین هندسی همیشه برابر یا کمتر از میانگین حسابی خواهد بود.

تجزیه و تحلیل جدول نشان می دهد که چرا میانگین هندسی مقدار بهتری را ارائه می دهد. هنگامی که میانگین حسابی 0.67٪ برای هر یک از قیمت های سهام اعمال شود، ارزش نهایی 152.63 دلار است. با این حال، این سهام در روز آخر به قیمت 157.32 دلار معامله شد. این به این معنی است که میانگین حسابی بازده کمتر از مقدار واقعی است.

از سوی دیگر، زمانی که هر یک از قیمت های پایانی با میانگین هندسی بازده 0.61 درصد افزایش می یابد، قیمت دقیق 157.32 دلار محاسبه می شود. در این مثال و اغلب در بسیاری از محاسبات، میانگین هندسی بازتاب دقیق تری از بازده واقعی یک سبد است.

در حالی که میانگین ابزار خوبی برای ارزیابی عملکرد یک شرکت یا پورتفولیو است، باید از آن با سایر ابزارهای بنیادی و آماری نیز استفاده شود تا تصویر بهتر و گسترده‌تری از چشم‌انداز تاریخی و آینده سرمایه‌گذاری به دست آید.

5- چه زمانی میانگین در سرمایه گذاری مهم می باشد

در تجارت و سرمایه گذاری، میانگین به طور گسترده برای تجزیه و تحلیل عملکرد استفاده می شود. نمونه‌هایی از موقعیت‌هایی که ممکن است با آن‌ها مواجه شوید عبارتند از:

• تعیین اینکه آیا سهام در یک دوره زمانی معین بالاتر یا کمتر از میانگین معامله می شود.
• نگاهی به گذشته برای مشاهده اینکه چگونه فعالیت معاملاتی مقایسه ای ممکن است نتایج آینده را تعیین کند. به عنوان مثال، مشاهده میانگین نرخ بازده برای بازارهای گسترده در طول رکودهای قبلی ممکن است تصمیم گیری در رکود اقتصادی آینده را هدایت کند.
• مشاهده اینکه آیا حجم معاملات یا مقدار سفارشات بازار مطابق با فعالیت اخیر بازار است.
• تجزیه و تحلیل عملکرد عملیاتی یک شرکت. به عنوان مثال، برخی نسبت‌های مالی مانند روزهای فروش معوقه نیازمند تعیین میانگین مانده حساب‌های دریافتنی برای شمارشگر هستند.
• کمی کردن داده های کلان اقتصادی مانند میانگین بیکاری در یک دوره زمانی برای تعیین سلامت عمومی یک اقتصاد.

6- سوالات پرتکرار

1-6- میانگین در ریاضی چیست؟

در ریاضیات و آمار، mean به میانگین مجموعه ای از مقادیر اطلاق می شود. میانگین را می توان به روش های مختلفی محاسبه کرد، از جمله میانگین حسابی ساده (اعداد را جمع کنید و کل را بر تعداد مشاهدات تقسیم کنید)، میانگین هندسی و میانگین هارمونیک.

2-6- چگونه میانگین را پیدا می کنید؟

mean مشخصه مجموعه ای از داده ها است که نوعی میانگین را توصیف می کند. برای یافتن میانگین، بسته به ساختار داده‌ها و نوع میانگینی که نیاز دارید، می‌توانید آن را با استفاده از یکی از چندین روش محاسبه کنید. همچنین در بسیاری از موارد با رسم توزیع داده ها می توانید میانگین را به صورت بصری شناسایی کنید. در یک توزیع نرمال، میانگین، مد و میانه همگی همان مقداری هستند که در مرکز نمودار رخ می دهد.

• توزیع نرمال

3-6- تفاوت بین میانگین، میانه و مد چیست؟

mean میانگینی است که در مجموعه ای از داده ها ظاهر می شود.

median یا میانه نقطه میانی در بالا (زیر) است که 50٪ از مقادیر در داده ها قرار دارد.

mode یا حالت به بیشترین مقدار مشاهده شده در داده اشاره دارد (مقداری که بیشتر اتفاق می افتد).

• مد چیست ؟

4-6- چرا میانگین مهم است؟

میانگین یک اندازه گیری آماری ارزشمند است که به شما می گوید هنگام مقایسه همه نقاط داده با هم، نتیجه مورد انتظار چیست. اگرچه نتایج آتی را تضمین نمی کند، اما میانگین به تعیین انتظارات برای نتیجه آینده بر اساس آنچه قبلاً اتفاق افتاده است کمک می کند.

5-6- آیا mean همان میانگین یا average است؟

بله. میانگین، میانگین ریاضی مجموعه ای از دو یا چند عدد است.

نتیجه گیری

mean یا میانگین کلمه دیگری برای “average” ریاضی است. میانگین ساده یا حسابی میانگینی است که با جمع کردن مقادیر برخی مشاهدات و تقسیم بر تعداد مشاهدات محاسبه می شود. میانگین هندسی با ضرب تمام اعداد در یک مجموعه داده و سپس گرفتن ریشه n ام محصول محاسبه می شود، جایی که n تعداد کل مقادیر در مجموعه داده است. میانگین هندسی به ویژه در هنگام برخورد با مقادیری که دارای یک رابطه ضربی یا نمایی مانند نرخ رشد، درصد یا نسبت هستند، مفید است. میانگین هارمونیک با تقسیم تعداد کل مقادیر موجود در مجموعه داده بر مجموع مقادیر متقابل هر یک از مقادیر محاسبه می شود. همچنین هنگام برخورد با نرخ‌ها، نسبت‌ها یا موقعیت‌هایی که رابطه بین مقادیر نسبت معکوس دارد، استفاده می‌شود.

به طور کلی این مفاهیم در مباحث و پروژه های تحلیل آماری بسیار پرکاربرد هستند که می توانید از مشاوره آماری لنسرسرا بهره مند شوید و پروژه های خود را به نحو احسنت پیش ببرید.