روش حداقل مربعات : معنی آن، نحوه استفاده از آن، با مثال

چکیده مقاله :
روش حداقل مربعات، فرآیند یافتن بهترین منحنی یا خط بهترین برازش برای مجموعه ای از نقاط داده با کاهش مجموع مجذورهای آفست (بخش باقیمانده) نقاط از منحنی است. در طی فرآیند یافتن رابطه بین دو متغیر، روند پیامدها به صورت کمی برآورد می شود. این فرآیند به عنوان تحلیل رگرسیون نامیده می شود. روش برازش منحنی رویکردی برای تحلیل رگرسیون است. این روش برازش معادلات که منحنی ها را به داده های خام داده شده تقریب می کند، روش حداقل مربعات است. کاملاً واضح است که برازش منحنی ها برای یک مجموعه داده خاص همیشه منحصر به فرد نیست. بنابراین، لازم است منحنی با حداقل انحراف از تمام نقاط داده اندازه گیری شده پیدا شود. این منحنی به عنوان بهترین منحنی برازش شناخته می شود و با استفاده از روش حداقل مربعات یافت می شود.

1- روش حداقل مربعات چیست؟

روش حداقل مربعات شکلی از تجزیه و تحلیل رگرسیون ریاضی است که برای تعیین خط بهترین تناسب برای مجموعه ای از داده ها استفاده می شود و نمایشی بصری از رابطه بین نقاط داده ارائه می دهد. هر نقطه از داده ها نشان دهنده رابطه بین یک متغیر مستقل شناخته شده و یک متغیر وابسته ناشناخته است. این روش معمولا توسط آماردانان و معامله گرانی که می خواهند فرصت ها و روندهای معاملاتی را شناسایی کنند استفاده می شود.

مفاهیم کلیدی

• روش حداقل مربعات یک روش آماری برای یافتن بهترین تناسب برای مجموعه ای از نقاط داده است.
• این روش با به حداقل رساندن مجموع انحرافات یا باقی مانده نقاط از منحنی رسم شده کار می کند.
• برای پیش بینی رفتار متغیرهای وابسته از رگرسیون حداقل مربعات استفاده می شود.
• این روش منطق کلی برای قرار دادن خط بهترین تناسب در بین نقاط داده مورد مطالعه را ارائه می دهد.
• معامله گران و تحلیلگران می توانند از روش حداقل مربعات برای شناسایی فرصت های معاملاتی و روندهای اقتصادی یا مالی استفاده کنند.

• تحلیل آماری چیست ؟

• رگرسیون چیست؟

• آنالیز رگرسیون

2- آشنایی با روش حداقل مربعات

روش حداقل مربعات شکلی از تجزیه و تحلیل رگرسیون است که منطق کلی برای قرار دادن خط بهترین برازش در بین نقاط داده مورد مطالعه را ارائه می دهد. با مجموعه ای از نقاط داده با استفاده از دو متغیر شروع می شود که بر روی یک نمودار در امتداد محور x و y رسم می شوند. معامله گران و تحلیلگران می توانند از این به عنوان ابزاری برای مشخص کردن روندهای صعودی و نزولی در بازار همراه با فرصت های معاملاتی بالقوه استفاده کنند.

رایج ترین کاربرد این روش گاهی اوقات خطی یا معمولی نامیده می شود. هدف آن ایجاد یک خط مستقیم است که مجموع مربعات خطاهای ایجاد شده توسط نتایج معادلات مرتبط، مانند مجذور باقیمانده های حاصل از تفاوت در مقدار مشاهده شده و مقدار پیش بینی شده بر اساس آن مدل را به حداقل می رساند.

به عنوان مثال، یک تحلیلگر ممکن است از روش حداقل مربعات برای ایجاد خطی با بهترین تناسب استفاده کند که رابطه بالقوه بین متغیرهای مستقل و وابسته را توضیح می دهد. خط بهترین تناسب تعیین شده از روش حداقل مربعات دارای معادله ای است که رابطه بین نقاط داده را برجسته می کند.

اگر داده ها رابطه ناب بین دو متغیر را نشان دهند، منجر به خط رگرسیون حداقل مربعات می شود. این فاصله عمودی از نقاط داده تا خط رگرسیون را به حداقل می رساند. اصطلاح حداقل مربعات به این دلیل استفاده می شود که کوچکترین مجموع مربعات خطاها است که به آن واریانس نیز می گویند. از طرف دیگر، یک مسئله حداقل مربعات غیر خطی، هیچ راه حل بسته ای ندارد و به طور کلی با تکرار حل می شود.

نکته مهم: متغیرهای وابسته در محور y عمودی نشان داده می شوند، در حالی که متغیرهای مستقل در محور x افقی در تحلیل رگرسیون نشان داده می شوند. این نامگذاری ها معادله خط بهترین تناسب را تشکیل می دهند که از روش حداقل مربعات تعیین می شود.

2- مزایا و معایب روش حداقل مربعات

بهترین راه برای یافتن خط بهترین تناسب استفاده از روش حداقل مربعات است. اما معامله گران و تحلیلگران ممکن است با مشکلاتی روبرو شوند، زیرا این همیشه یک راه بهینه برای انجام این کار نیست. برخی از مزایا و معایب استفاده از این روش در زیر ذکر شده است.

مزایا

یکی از مزایای اصلی استفاده از این روش این است که کاربرد و درک آن آسان است. به این دلیل که تنها از دو متغیر استفاده می کند (یکی که در امتداد محور x و دیگری در محور y نشان داده شده است) در حالی که بهترین رابطه بین آنها را برجسته می کند.

سرمایه گذاران و تحلیلگران می توانند با تحلیل عملکرد گذشته و پیش بینی روندهای آتی در اقتصاد و بازارهای سهام از این روش استفاده کنند. به این ترتیب، می توان از آن به عنوان یک ابزار تصمیم گیری استفاده کرد.

• کاربرد و درک آسان
• رابطه بین دو متغیر را برجسته می کند
• می توان از آن برای پیش بینی عملکرد آینده استفاده کرد

معایب

اشکال اولیه روش حداقل مربعات در داده های مورد استفاده نهفته است. فقط می تواند رابطه بین دو متغیر را برجسته کند. به این ترتیب، هیچ متغییر دیگری را در نظر نمی گیرد. و اگر موارد پرت وجود داشته باشد، نتایج منحرف می شوند.

مشکل دیگر این روش این است که داده ها باید به طور مساوی توزیع شوند. اگر اینطور نباشد، نتایج ممکن است قابل اعتماد نباشد.

• فقط رابطه بین دو متغیر را برجسته می کند
• موارد پرت را در نظر نمی گیرد
• اگر داده ها به طور مساوی توزیع نشده باشند، ممکن است منحرف شوند

معادلات از خط بهترین تناسب ممکن است توسط مدل‌های نرم‌افزار کامپیوتری تعیین شوند، که شامل خلاصه‌ای از خروجی‌ها برای تجزیه و تحلیل است، که در آن ضرایب و خروجی‌های خلاصه وابستگی متغیرهای مورد آزمایش را توضیح می‌دهند.

3- مثالی از روش حداقل مربعات

در اینجا یک مثال فرضی برای نشان دادن نحوه عملکرد روش حداقل مربع وجود دارد. بیایید فرض کنیم که یک تحلیلگر می خواهد رابطه بین بازده سهام یک شرکت و بازده شاخصی که سهام جزء آن است را آزمایش کند. در این مثال، تحلیلگر به دنبال آزمایش وابستگی بازده سهام به بازده شاخص است.

برای رسیدن به این هدف، تمام بازده ها بر روی یک نمودار رسم می شوند. سپس بازده شاخص به عنوان متغیر مستقل تعیین می شود و بازده سهام متغیر وابسته است. خط بهترین تناسب ضرایبی را در اختیار تحلیلگر قرار می دهد که سطح وابستگی را توضیح می دهد.

4- سوالات متداول

روش حداقل مربعات چیست؟

روش حداقل مربعات یک تکنیک ریاضی است که به تحلیلگر اجازه می دهد بهترین راه برای برازش منحنی در بالای نمودار نقاط داده را تعیین کند. به طور گسترده ای برای سهولت تفسیر نمودارهای پراکنده استفاده می شود و با تحلیل رگرسیون همراه است. امروزه می توان از روش حداقل مربعات به عنوان بخشی از اکثر نرم افزارهای آماری استفاده کرد.

چگونه از روش حداقل مربعات در امور مالی استفاده می شود؟

روش حداقل مربعات در طیف گسترده ای از زمینه ها از جمله مالی و سرمایه گذاری استفاده می شود. برای تحلیلگران مالی، این روش می تواند به کمیت کردن رابطه بین دو یا چند متغیر مانند قیمت سهام و سود هر سهم آن (EPS) کمک کند. با انجام این نوع تحلیل، سرمایه گذاران اغلب سعی می کنند رفتار آتی قیمت سهام یا سایر عوامل را پیش بینی کنند.

نمونه ای از روش حداقل مربعات چیست؟

موردی را در نظر بگیرید که یک سرمایه گذار در نظر دارد در یک شرکت معدن طلا سرمایه گذاری کند یا خیر. سرمایه گذار ممکن است بخواهد بداند که قیمت سهام شرکت تا چه اندازه نسبت به تغییرات قیمت طلا در بازار حساس است. برای مطالعه این موضوع، سرمایه گذار می تواند از روش حداقل مربعات برای ردیابی رابطه بین آن دو متغیر در طول زمان بر روی نمودار پراکندگی استفاده کند. این تجزیه و تحلیل می تواند به سرمایه گذار کمک کند تا میزان احتمال افزایش یا کاهش قیمت سهام را برای افزایش یا کاهش قیمت طلا پیش بینی کند.

چه کسی اولین بار روش حداقل مربعات را کشف کرد؟

اگرچه مخترع روش حداقل مربعات مورد بحث است، کارل فردریش گاوس، ریاضیدان آلمانی، ادعا می کند که این نظریه را در سال 1795 اختراع کرده است.

جمع بندی

معامله گران و تحلیلگران تعدادی ابزار برای کمک به پیش بینی عملکرد آینده بازارها و اقتصاد در دسترس دارند. روش حداقل مربعات شکلی از تحلیل رگرسیون است که توسط بسیاری از تحلیلگران فنی برای شناسایی فرصت های معاملاتی و روندهای بازار استفاده می شود. از دو متغیر استفاده می کند که بر روی یک نمودار رسم می شوند تا نشان دهند که چگونه با هم مرتبط هستند. اگرچه ممکن است به کارگیری و درک آن آسان باشد، اما تنها بر دو متغیر متکی است، بنابراین هیچ گونه پرت را در نظر نمی گیرد. به همین دلیل است که بهتر است از آن همراه با سایر ابزارهای تحلیلی برای به دست آوردن نتایج قابل اعتمادتر استفاده شود.