آزمون Z در آمار چیست؟ + تعریف، کاربرد و مثال

چکیده مقاله :
آزمون Z یک آزمون آماری است که بر روی داده هایی انجام می شود که تقریباً از توزیع نرمال پیروی می کنند. آزمون z را می توان بر روی یک نمونه، دو نمونه یا بر روی نسبت ها برای آزمون فرضیه انجام داد. هنگامی که واریانس جامعه مشخص است، بررسی می کند که آیا میانگین دو نمونه بزرگ متفاوت است یا خیر. بسته به پارامترهای داده، آزمون z را می‌توان به آزمون‌های فرضی چپ، راست و دو دنباله طبقه‌بندی کرد. در این مقاله با آزمون z، فرمول آن، آمار آزمون z و نحوه انجام تست برای انواع مختلف داده ها با استفاده از مثال ها بیشتر آشنا می شویم.

1- آزمون Z چیست؟ Z-Test

آزمون z یک آزمون آماری است که برای تعیین اینکه آیا میانگین دو جامعه زمانی که واریانس‌ها شناخته شده و حجم نمونه بزرگ است متفاوت هستند یا خیر، استفاده می‌شود.

فرض بر این است که آمار تست دارای توزیع نرمال است و پارامترهای مزاحم مانند انحراف معیار باید شناخته شوند تا یک آزمون z دقیق انجام شود.

مفاهیم کلیدی

• آزمون z یک آزمون آماری برای تعیین اینکه آیا میانگین دو جامعه زمانی که واریانس‌ ها مشخص و حجم نمونه بزرگ است یا خیر متفاوت می باشد یا خیر.
• آزمون z یک آزمون فرضیه است که در آن آماره z از توزیع نرمال پیروی می کند.
• آمار z یا z-score عددی است که نتیجه آزمون z را نشان می دهد.
• آزمون‌های Z ارتباط نزدیکی با آزمون‌های t دارند، اما آزمون‌ t زمانی بهتر انجام می‌شوند که آزمایش حجم نمونه کوچکی داشته باشد.
  آزمون Z فرض می کند که انحراف معیار شناخته شده است، در حالی که آزمون t فرض می کند که انحراف معیار ناشناخته است.

جهت آشنایی بیشتر می توانید مقاله زیر را با عنوان تحلیل آماری چیست مطالعه نمایید.

• تحلیل آماری

2-مفهوم و تعریف آزمون Z

آزمون z یک آزمون فرضیه است که در آن آماره z از توزیع نرمال پیروی می کند. آزمون z بهتر است برای نمونه های بیشتر از 30 مورد استفاده قرار گیرد زیرا، تحت قضیه حد مرکزی ، با بزرگتر شدن تعداد نمونه ها، نمونه ها تقریباً در نظر گرفته می شوند که به طور نرمال توزیع شده اند.

هنگام انجام آزمون z، فرضیه های صفر و جایگزین، آلفا و z-score باید بیان شود. در مرحله بعد، آمار آزمون باید محاسبه شود و نتایج و نتیجه گیری بیان شود. z-score، عددی است که نشان می‌دهد یک نمره به دست آمده از آزمون z چند انحراف استاندارد بالاتر یا کمتر از میانگین جامعه دارد.

نمونه‌هایی از آزمون‌هایی که می‌توانند به‌عنوان آزمون z انجام شوند عبارتند از: آزمون مکان تک نمونه‌ای، آزمون مکان دو نمونه‌ای، آزمون تفاوت زوجی و برآورد حداکثر درستنمایی. آزمون‌های Z ارتباط نزدیکی با آزمون‌های t دارند، اما آزمون‌های t زمانی بهتر انجام می‌شوند که حجم نمونه کوچکی برای بررسی داشته باشد. همچنین، آزمون‌های t فرض می‌کنند انحراف معیار ناشناخته است، در حالی که آزمون‌های z آن را مشخص می‌دانند. اگر انحراف معیار جامعه ناشناخته باشد، فرض واریانس نمونه برابر با واریانس جامعه است.

3- مثال آزمون Z

فرض کنید سرمایه‌گذار می‌خواهد آزمایش کند که آیا میانگین بازده روزانه سهام بیشتر از 3 درصد است یا خیر. یک نمونه تصادفی ساده از 50 return محاسبه شده و دارای میانگین 2٪ است. فرض کنید انحراف استاندارد بازده 2.5٪ است. بنابراین، فرض صفر زمانی است میانگین یا میانه برابر با 3 درصد باشد.

برعکس، فرضیه جایگزین این است که آیا میانگین بازده بیشتر یا کمتر از 3 درصد است. فرض کنید آلفای 0.05٪ با یک آزمون دو دنباله انتخاب شده است. در نتیجه، 0.025٪ از نمونه ها در هر دم وجود دارد و آلفا دارای مقدار بحرانی 1.96 یا -1.96 است. اگر مقدار z بزرگتر از 1.96 یا کمتر از 1.96 باشد، فرض صفر رد می شود.

مقدار z با کم کردن مقدار میانگین بازده روزانه انتخاب شده برای آزمایش یا 1٪ در این مورد، از میانگین مشاهده شده نمونه ها محاسبه می شود. سپس مقدار حاصل را بر انحراف استاندارد تقسیم بر جذر تعداد مقادیر مشاهده شده تقسیم کنید.

بنابراین، آمار آزمون به شرح زیر است:

(0.02 – 0.01) ÷ (0.025 ÷ √ 50) = 2.83

سرمایه گذار فرضیه صفر را رد می کند زیرا z بزرگتر از 1.96 است و نتیجه می گیرد که میانگین بازده روزانه بیشتر از 1٪ است.

4- تفاوت بین T-Test و Z-Test چیست؟

آزمون‌های Z ارتباط نزدیکی با آزمون‌های t دارند، اما آزمون‌های t زمانی بهتر انجام می‌شوند که داده‌ها از حجم نمونه کوچکی تشکیل شده باشد، یعنی کمتر از 30. همچنین، آزمون‌های t فرض می‌کنند انحراف معیار ناشناخته است، در حالی که آزمون‌های z، انحراف معیار را شناخته فرض می‌کنند.

5- چه زمانی باید از تست Z استفاده کرد؟

اگر انحراف معیار جامعه ناشناخته باشد و حجم نمونه بزرگتر یا مساوی 30 باشد، فرض واریانس نمونه برابر با واریانس جامعه باید با استفاده از آزمون z انجام شود. صرف نظر از حجم نمونه، اگر انحراف استاندارد جامعه برای یک متغیر ناشناخته باقی بماند، باید به جای آن از آزمون t استفاده شود.

6- Z-Score چیست؟

z-score یا z-statistic عددی است که تعداد انحرافات استاندارد بالاتر یا کمتر از میانگین جامعه را نشان می‌دهد که امتیاز حاصل از آزمون z چقدر است. در اصل، این یک اندازه گیری عددی است که رابطه یک مقدار را با میانگین گروهی از مقادیر توصیف می کند. اگر z-score صفر باشد، نشان می دهد که امتیاز نقطه داده با میانگین امتیاز یکسان است. z-score یک مقداری را نشان می دهد که یک انحراف استاندارد از میانگین است. نمرات Z ممکن است مثبت یا منفی باشند، با یک مقدار مثبت که نشان دهنده امتیاز بالاتر از میانگین است و یک نمره منفی نشان دهنده پایین تر از میانگین است.

7- قضیه حد مرکزی (CLT) چیست؟

در مطالعه تئوری احتمال، قضیه حد مرکزی (CLT) بیان می‌کند که توزیع نمونه تقریباً به یک توزیع نرمال (همچنین به عنوان “منحنی زنگ” شناخته می‌شود) با بزرگ‌تر شدن اندازه نمونه، با فرض اینکه همه نمونه‌ها از نظر اندازه یکسان هستند، تخمین زده می‌شود. و بدون توجه به شکل توزیع جمعیت. اندازه نمونه مساوی یا بیشتر از 30 برای CLT برای پیش بینی دقیق ویژگی های یک جمعیت کافی در نظر گرفته می شود. وفاداری آزمون z به نگه داشتن CLT متکی است.

جمع بندی
از آزمون z در آزمون فرضیه ها برای ارزیابی اینکه آیا یک یافته یا ارتباط از نظر آماری معنادار است یا خیر استفاده می شود. به ویژه، آزمایش می کند که آیا دو میانگین یکسان هستند (فرضیه صفر). تنها در صورتی می توان از آزمون z استفاده کرد که انحراف استاندارد جامعه مشخص باشد و حجم نمونه 30 نقطه داده یا بیشتر باشد. در غیر این صورت باید از آزمون t استفاده شود.