تابع چگالی احتمال

چکیده مقاله :
تحلیل آماری یک حوزه بسیار وسیع می باشد که در حل مسائل آماری از تکنیک ها و مفاهیم آن استفاده می شود تا بتوان تحلیل های خوبی در مسائل آماری داشت. تابع چگالی احتمال یکی از پرکاربردترین مفاهیم در این حوزه می باشد که در این مقاله قصد داریم به آن بپردازیم. شما را با مفهوم آن آشنا کنیم و انواع آن را با ذکر مثال با توضیح تفسیر هریک به طور کامل توضیح دهیم. درنتیجه شما با خواندن این مقاله می توانید به طور کامل به سوال تابع چگالی احتمال چیست پاسخ دهید.

1- تابع چگالی احتمال چیست ؟

تابع چگالی احتمال (PDF) یک عبارت آماری است که توزیع احتمال (احتمال یک نتیجه) را برای یک متغیر تصادفی گسسته (به عنوان مثال، سهام یا ETF) در مقابل یک متغیر تصادفی پیوسته تعریف می‌کند. تفاوت بین یک متغیر تصادفی گسسته این است که می توانید مقدار دقیق متغیر را شناسایی کنید.

توزیع نرمال یک مثال رایج از PDF است که شکل شناخته شده منحنی زنگ را تشکیل می دهد. در امور مالی، معامله‌گران و سرمایه‌گذاران از فایل‌های PDF برای درک نحوه توزیع بازده قیمت استفاده می‌کنند تا ریسک و مشخصات بازده مورد انتظار خود را ارزیابی کنند.

نکات کلیدی

• توابع چگالی احتمال یک معیار آماری است که برای اندازه گیری نتیجه احتمالی یک مقدار گسسته (به عنوان مثال، قیمت سهام یا ETF) استفاده می شود.
• فایل‌های PDF روی نموداری که معمولاً شبیه یک منحنی زنگی است رسم می‌شوند و احتمال نتایج زیر منحنی است.
• یک متغیر گسسته می تواند دقیقاً اندازه گیری شود، در حالی که یک متغیر پیوسته می تواند مقادیر بی نهایت داشته باشد.
• از فایل‌های PDF می‌توان برای اندازه‌گیری ریسک و پاداش بالقوه یک اوراق بهادار یا صندوق خاص در یک سبد استفاده کرد.
• توزیع نرمال که اغلب ذکر می شود، منحنی زنگی شکل را تشکیل می دهد.

جهت آشنایی بیشتر می توانید مقاله زیر را با عنوان تحلیل آماری چیست مطالعه نمایید.

• تحلیل آماری چیست ؟

2- مفهوم توابع چگالی احتمال (PDF)

پی دی اف ها در امور مالی برای سنجش ریسک یک اوراق بهادار خاص، مانند سهام فردی یا ETF استفاده می شوند.

آنها معمولاً روی یک نمودار نشان داده می شوند، با منحنی زنگی معمولی که ریسک بازار خنثی را نشان می دهد، و یک زنگ در دو انتها نشان دهنده ریسک / پاداش بیشتر یا کمتر است. هنگامی که تابع چکالی احتمال به صورت گرافیکی به تصویر کشیده می شود، ناحیه زیر منحنی بازه زمانی را نشان می دهد که متغیر در آن قرار می گیرد. مساحت کل در این بازه نمودار برابر با احتمال وقوع یک متغیر تصادفی گسسته است.

به طور دقیق تر، از آنجایی که به دلیل مجموعه نامتناهی مقادیر ممکن در دسترس، احتمال مطلق یک متغیر تصادفی پیوسته در هر مقدار مشخص صفر است، می توان از مقدار PDF برای تعیین احتمال قرار گرفتن یک متغیر تصادفی در یک محدوده خاص استفاده کرد.

توزیع انحرافی به سمت راست منحنی نشان دهنده پاداش صعودی بیشتر است، در حالی که توزیع انحرافی به سمت چپ نشان دهنده ریسک نزولی بیشتر برای معامله گران است.

از توزیع‌های احتمال نیز می‌توان برای ایجاد توابع توزیع تجمعی (CDF) استفاده کرد، که احتمال وقوع را به صورت تجمعی جمع می‌کند و همیشه از صفر شروع می‌شود و به 100 درصد ختم می‌شود. سرمایه گذاران باید از PDF به عنوان یکی از ابزارهای متعدد برای محاسبه ریسک/پاداش کلی در پرتفوی خود استفاده کنند.

3- تفاوت توابع توزیع احتمال گسسته و توابع پیوسته

فایل های PDF می توانند داده های گسسته یا پیوسته را توصیف کنند. تفاوت این است که متغیرهای گسسته فقط می توانند مقادیر خاصی مانند اعداد صحیح، بله در مقابل خیر، زمان های روز و غیره را دریافت کنند. یک متغیر پیوسته، در مقابل، شامل تمام مقادیر در امتداد منحنی، از جمله کسرهای بسیار کوچک یا اعشار تا تعداد بی نهایت مکان از لحاظ نظری است.

4- محاسبه تابع توزیع احتمال

تابع چگالی احتمال اغلب با میانگین، انحراف معیار، کشیدگی و چولگی مشخص می شوند.

• میانگین: مقدار میانگین حسابی
• انحراف معیار: پراکندگی داده ها در مورد میانگین
• Kurtosis: “چاقی” دم های PDF را توصیف می کند
• Skewness: به انحرافات در تقارن PDF اشاره دارد

محاسبه PDF و ترسیم آن به صورت گرافیکی می تواند شامل محاسبات پیچیده ای باشد که از معادلات دیفرانسیل یا حساب انتگرال استفاده می کنند. در عمل، ماشین حساب های نموداری یا بسته های نرم افزاری آماری برای محاسبه تابع توزیع احتمال مورد نیاز هستند.

• کشیدگی در آمار چیست ؟

• انحراف استاندارد چیست ؟

• واریانس چیست ؟

• تفاوت انحراف استاندارد و واریانس

• تفاوت انحراف استاندارد و انحراف میانگین

5- توزیع نرمال

به عنوان مثال، محاسبه برای PDF توزیع نرمال به شرح زیر است:

که در آن:

• x=مقدار متغیر یا داده مورد بررسی
• μ = میانگین
• σ=انحراف استاندارد

یک توزیع نرمال همیشه دارای چولگی = 0 و کشیدگی = 3.0 است.

• توزیع نرمال چیست ؟

6- سایر توابع توزیع احتمال

در حالی که توزیع نرمال اغلب پر استنادترین و شناخته شده است، چندین تابع چکالی احتمال دیگر نیز وجود دارد.

1-6- توزیع یکنواخت

ساده‌ترین و محبوب‌ترین توزیع، توزیع یکنواخت است که در آن همه نتایج شانس یکسانی برای وقوع دارند. یک قالب شش وجهی توزیع یکنواختی دارد. هر پیامد احتمالی در حدود 16.67٪ (1/6) دارد.

2-6- توزیع دو جمله ای

توزیع دوجمله ای داده هایی را نشان می دهد که فقط می توانند یکی از دو مقدار را داشته باشند، مانند چرخش یک سکه (سر در مقابل دم) یا عبارات منطقی که به شکل بله/نه، روشن/خاموش و غیره هستند.

3-6- توزیع Lognormal

توزیع لگ نرمال در امور مالی مهم است زیرا بازده واقعی قیمت دارایی را بهتر از توزیع نرمال استاندارد توصیف می کند. این PDF دارای چولگی مثبت (راست) و کشیدگی بالاتر است.

4-6- توزیع پواسون

توزیع پواسون یک تابع چگالی احتمال است که برای توصیف متغیرهای شمارش یا احتمال وقوع تعداد معینی از رخدادها استفاده می شود. به عنوان مثال، چند سیب روی درختان سیب یافت می شود، چند زنبور در طول زمان در کندو زنده هستند، یا در چند روز معاملاتی یک سبد 5 درصد یا بیشتر از دست می دهد.

5-6- توزیع بتا

توزیع بتا یک نوع عمومی از PDF است که می‌تواند شکل‌ها و ویژگی‌های مختلفی به خود بگیرد، همانطور که فقط با دو پارامتر تعریف می‌شود: آلفا و بتا. اغلب در امور مالی برای تخمین نرخ بازیابی دیفالت اوراق قرضه یا نرخ مرگ و میر در بیمه استفاده می شود.

7- مثالی از تابع چگالی احتمال

به عنوان یک مثال ساده از توزیع احتمال، اجازه دهید به عدد مشاهده شده هنگام انداختن دو تاس شش وجهی استاندارد نگاه کنیم. هر قالب احتمال 1/6 پرتاب کردن هر عدد واحد، از یک تا شش را دارد، اما مجموع دو تاس، توزیع احتمال نشان داده شده در تصویر زیر را تشکیل می دهد.

هفت شایع ترین نتیجه است (1+6، 6+1، 5+2، 2+5، 3+4، 4+3). دو و دوازده، از سوی دیگر، بسیار کمتر احتمال دارد (1+1 و 6+6).

8- تفسیر تابع چگالی احتمال (PDF)

تابع چگالی احتمال (PDF) میزان احتمال مشاهده برخی از نتایج حاصل از فرآیند تولید داده را توصیف می کند. به عنوان مثال، چقدر احتمال دارد که یک سکه منصفانه رو بیاید (50٪). یا احتمال وقوع 6 از یک تاس (1/6 = 16.7٪) آمدن. یک PDF می‌تواند به ما بگوید که کدام مقادیر در مقابل نتایج کمتر محتمل‌تر ظاهر می‌شوند. این بسته به شکل و ویژگی های PDF تغییر می کند.

9- قضیه حد مرکزی (CLT) چیست و چه ارتباطی با فایل های PDF دارد؟

قضیه حد مرکزی (CLT) بیان می کند که توزیع یک متغیر تصادفی در یک نمونه با بزرگتر شدن اندازه نمونه، بدون توجه به شکل واقعی توزیع، شروع به نزدیک شدن به توزیع نرمال می کند. بنابراین، ما می دانیم که چرخاندن یک سکه یک فرآیند دودویی است که با توزیع دو جمله ای (سر یا دم) توصیف می شود. با این حال، اگر چندین پرتاب سکه را در نظر بگیریم، احتمال به دست آوردن هر ترکیب خاصی از سر و دم متفاوت است. به عنوان مثال، اگر بخواهیم سکه را ده بار بچرخانیم، شانس گرفتن 5 از هر کدام بسیار محتمل است، اما گرفتن ده سر پشت سر هم بسیار نادر است. 1000 سکه را تصور کنید و توزیع به منحنی زنگ نرمال نزدیک شود.

10- تفاوت تابع چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی چیست؟

تابع چگالی احتمال (PDF) توضیح می‌دهد که کدام مقادیر احتمالاً در یک فرآیند تولید داده در هر زمان معین یا برای هر قرعه کشی مشخص ظاهر می‌شوند.

یک تابع توزیع تجمعی (CDF) در عوض نشان می دهد که چگونه این احتمالات حاشیه ای جمع می شوند و در نهایت به 100٪ (یا 1.0) نتایج ممکن می رسند. با استفاده از CDF می توانیم ببینیم که چقدر احتمال دارد که نتیجه یک متغیر کمتر یا مساوی با مقداری پیش بینی شده باشد.

برای مثال شکل زیر CDF را برای توزیع نرمال نشان می دهد.

جمع بندی

توابع توزیع احتمال (PDF) مقادیر مورد انتظار متغیرهای تصادفی گرفته شده از یک نمونه را توصیف می کنند. شکل PDF توضیح می دهد که چقدر احتمال دارد که یک مقدار مشاهده شده رخ داده باشد. توزیع نرمال یک مثال معمولی است که می تواند فقط میانگین و انحراف معیار آن را توصیف کند. PDF های دیگر پیچیده تر و ظریف تر هستند. بازده قیمت سهام تمایل دارد به جای توزیع نرمال، از توزیع لگ نرمال پیروی کند، که نشان می دهد زیان های نزولی بیشتر از سودهای بسیار بزرگ هستند، نسبت به آنچه که توزیع نرمال پیش بینی می کند.