توزیع دو جمله ای چیست؟ تعریف، فرمول، آنالیز و مثال

چکیده مقاله :
در تئوری احتمالات و آمار، توزیع دوجمله ای Binomial Distribution توزیع احتمال گسسته ای است که تنها دو نتیجه ممکن را در یک آزمایش می دهد، موفقیت یا شکست. به عنوان مثال، اگر یک سکه پرتاب کنیم، تنها دو نتیجه ممکن وجود دارد: سر یا دم، و اگر آزمایشی انجام شود، تنها دو نتیجه وجود دارد: قبولی یا شکست. به این توزیع، توزیع احتمال دو جمله ای نیز می گویند. در اینجا دو پارامتر n و p در توزیع دو جمله ای استفاده می شود. متغیر ‘n’ تعداد دفعات اجرای آزمایش را بیان می کند و متغیر ‘p’ احتمال هر یک از نتایج را بیان می کند. در این مطلب به بررسی کامل مفهوم و تعریف این موضوع پرداخته و فرمول توزیع دو جمله ای را همراه با مثال برای درک بهتر ارائه کرده ایم.

1- توزیع دوجمله ای چیست؟

توزیع دوجمله ای یک توزیع آماری است که احتمال اینکه یک مقدار یکی از دو مقدار مستقل را تحت مجموعه پارامترها یا مفروضات معینی بگیرد، خلاصه می کند. مفروضات اساسی توزیع دوجمله ای این است که برای هر کارآزمایی فقط یک نتیجه وجود دارد، هر آزمایش احتمال موفقیت یکسانی دارد، و هر آزمایش متقابلاً منحصر به فرد یا مستقل از یکدیگر است.

• تحلیل آماری

مفاهیم کلیدی

• توزیع دوجمله ای یک توزیع احتمال آماری است که احتمال اینکه یک مقدار یکی از دو مقدار مستقل را تحت مجموعه پارامترها یا مفروضات معینی بگیرد، خلاصه می کند.
• مفروضات اساسی توزیع دوجمله ای این است که برای هر کارآزمایی فقط یک نتیجه وجود دارد، هر آزمایشی احتمال موفقیت یکسانی دارد، و هر آزمایشی متقابلاً منحصر به فرد یا مستقل از یکدیگر است.
• توزیع دو جمله ای یک توزیع گسسته رایج است که در آمار استفاده می شود، برخلاف توزیع پیوسته، مانند توزیع نرمال.

• توزیع احتمال چیست؟

2- مفهوم توزیع دو جمله ای

برای شروع، “دو جمله ای” در توزیع دو جمله ای به معنای دو عبارت است، یکی تعداد موفقیت ها و دیگری تعداد تلاش ها. هر کدام بدون دیگری بی فایده است.

توزیع دو جمله ای یک توزیع گسسته رایج است که در آمار استفاده می شود، برخلاف توزیع پیوسته، مانند توزیع نرمال. این به این دلیل است که توزیع دوجمله ای با توجه به تعدادی آزمایش در داده ها، تنها دو حالت را به حساب می آورد که معمولاً به صورت 1 (برای موفقیت) یا 0 (برای یک شکست) نشان داده می شود. بنابراین توزیع دوجمله ای احتمال موفقیت x در n آزمایش را نشان می دهد، با توجه به احتمال موفقیت p برای هر آزمایش.

توزیع دوجمله ای تعداد آزمایش ها یا مشاهدات را خلاصه می کند، زمانی که هر آزمایش احتمال یکسانی برای دستیابی به یک مقدار خاص دارد. توزیع دو جمله ای احتمال مشاهده تعداد مشخصی از نتایج موفقیت آمیز را در تعداد مشخصی از آزمایشات تعیین می کند.

توزیع دوجمله‌ای اغلب در آمار علوم اجتماعی به‌عنوان بلوک ساختاری برای مدل‌های متغیرهای نتیجه دوگانه استفاده می‌شود، مانند اینکه آیا یک جمهوری‌خواه یا دموکرات در انتخابات آینده پیروز می‌شود، آیا یک فرد در یک بازه زمانی مشخص می‌میرد، و غیره. همچنین در امور مالی، بانکداری و بیمه و در میان سایر صنایع کاربرد دارد.

3- آنالیز توزیع دو جمله ای

مقدار مورد انتظار توزیع دوجمله ای، یا میانگین، با ضرب تعداد آزمایشات (n) در احتمال موفقیت (p)، یا n × p محاسبه می شود.

به عنوان مثال، مقدار مورد انتظار تعداد سرها در 100 آزمایش سر یا دم 50 یا (100 × 0.5) است. یکی دیگر از نمونه های رایج توزیع دوجمله ای، تخمین شانس موفقیت برای یک تیرانداز پرتاب آزاد در بسکتبال است که 1 = سبد ساخته شده و 0 = از دست دادن.

تابع توزیع دو جمله ای به صورت زیر محاسبه می شود:

که در آن:

• n تعداد آزمایشات (رویدادها) است
• x تعداد آزمایش های موفق است
• p احتمال موفقیت در یک آزمایش واحد است

n C x ترکیبی از n و x است. ترکیب تعداد راه‌هایی است که برای انتخاب نمونه‌ای از عناصر x از مجموعه‌ای از n شی مجزا که ترتیب مهم نیست و جایگزینی آنها مجاز نیست. توجه داشته باشید که n! / r! (n-r)! = nCx ، که در آن ! فاکتوریل است (بنابراین، !4 = 4 × 3 × 2 × 1).

میانگین توزیع دو جمله ای np است و واریانس توزیع دو جمله ای np (1 – p) است. وقتی p = 0.5 است، توزیع حول میانگین متقارن است. مانند چرخاندن یک سکه، زیرا شانس گرفتن سر یا دم 50٪ یا 0.5 است. وقتی p > 0.5، منحنی توزیع به سمت چپ منحرف یا skew می شود. وقتی p < 0.5، منحنی توزیع به سمت راست منحرف می شود.

• چولگی یا خمیدگی چیست؟

توزیع دو جمله ای مجموع یک سری آزمایشات برنولی مستقل و یکسان توزیع شده است. در آزمایش برنولی، گفته می شود که این آزمایش تصادفی است و تنها می تواند دو نتیجه ممکن داشته باشد: موفقیت یا شکست.

به عنوان مثال، چرخاندن سکه به عنوان آزمایش برنولی در نظر گرفته می شود. هر آزمایش فقط می تواند یکی از دو مقدار (سر یا دم) را داشته باشد، هر موفقیت احتمال یکسانی دارد و نتایج یک آزمایش بر نتایج آزمایش دیگر تأثیری ندارد. توزیع برنولی یک مورد خاص از توزیع دو جمله ای است که در آن تعداد آزمایش ها n = 1 است.

4- مثال از توزیع دو جمله ای

فرمول محاسبه و نحوه محاسبه توزیع دوجمله را در بخش های قبل توضیح دادیم. حال یک مثال حل کنیم.

به عنوان مثال، فرض کنید که یک کازینو یک بازی جدید ایجاد کرده است که در آن شرکت‌کنندگان می‌توانند روی تعداد سر یا دم در تعداد مشخصی از سکه‌ها شرط بندی کنند. فرض کنید یک شرکت کننده می خواهد 10 دلار شرط بندی کند که دقیقاً شش سر در 20 پرتاب سکه وجود دارد. شرکت‌کننده می‌خواهد احتمال وقوع این اتفاق را محاسبه کند، و بنابراین، آنها از محاسبه برای توزیع دوجمله‌ای استفاده می‌کنند.

احتمال به صورت (!20 \ (!6 × !(6 – 20))) × (6)^(0.50) ×(6 – 20) ^(0.50 – 1) محاسبه شد. در نتیجه، احتمال وقوع دقیقاً شش سر در 20 پرتاب سکه 0.0369 یا 3.7٪ است. مقدار مورد انتظار در این مورد 10 سر بود، بنابراین شرکت کننده شرط بندی ضعیفی انجام داد. نمودار زیر نشان می دهد که میانگین 10 است (مقدار مورد انتظار) و شانس گرفتن شش سر در سمت چپ قرمز رنگ است. می بینید که احتمال وقوع شش سر کمتر از 7، 8، 9، 10، 11، 12 یا 13 سر است.

مثال توزیع دو جمله ای در سکه احتمال وقوع شش سر در 20 پرتاب سکه

بنابراین چگونه می توان از این در امور مالی استفاده کرد؟ یک مثال: فرض کنید شما یک بانک هستید، یک وام دهنده، که می خواهید در عرض سه رقم اعشار از احتمال عدم پرداخت یک وام گیرنده خاص مطلع شود. احتمال عدم پرداخت این همه وام گیرنده که بانک را ورشکست کنند چقدر است؟ هنگامی که از تابع توزیع دوجمله ای برای محاسبه آن عدد استفاده می کنید، ایده بهتری در مورد نحوه قیمت گذاری بیمه و در نهایت میزان پول قرض دادن و ذخیره کردن آن خواهید داشت.

5- سوالات پرتکرار

توزیع دوجمله ای چیست؟

توزیع دو جمله ای یک توزیع احتمال آماری است که این احتمال را بیان می کند که یک مقدار تحت مجموعه ای از پارامترها یا مفروضات، یکی از دو مقدار مستقل را بگیرد.

چگونه از توزیع دو جمله ای استفاده می شود؟

این الگوی توزیع در آمار استفاده می شود، اما پیامدهایی در امور مالی و سایر زمینه ها دارد. بانک‌ها ممکن است از آن برای تخمین احتمال عدم پرداخت وام‌گیرنده خاص، مقدار پولی که باید وام بدهند و مبلغی که باید در ذخیره نگه داشته شود استفاده کنند. همچنین در صنعت بیمه برای تعیین قیمت گذاری سیاست و ارزیابی ریسک استفاده می شود.

• آنالیز ریسک

چرا توزیع دوجمله ای مهم است؟

توزیع دوجمله ای برای محاسبه احتمال موفقیت یا شکست در یک بررسی یا آزمایش چندین بار تکرار شده استفاده می شود. تنها دو نتیجه بالقوه برای این نوع توزیع وجود دارد. به طور گسترده تر، توزیع بخش مهمی از تجزیه و تحلیل مجموعه داده ها برای برآورد تمام نتایج بالقوه داده ها و تعداد دفعات وقوع آنها است. پیش بینی و درک موفقیت یا شکست نتایج برای توسعه کسب و کار ضروری است.

جمع بندی
توزیع دو جمله ای یک توزیع آماری مهم است که نتایج باینری را توصیف می کند (مانند چرخش یک سکه، پاسخ بله/خیر، یا شرایط روشن/خاموش). درک ویژگی‌ها و عملکردهای آن برای تجزیه و تحلیل داده‌ها در زمینه‌های مختلف که شامل نتیجه گرفتن یکی از دو مقدار مستقل است، مهم است.

در علوم اجتماعی، مالی، بانکداری، بیمه و سایر زمینه ها کاربرد دارد. به عنوان مثال، می توان از آن برای تخمین اینکه آیا وام گیرنده در قبال یک وام پرداخت می کند، آیا قرارداد اختیار معامله با پول یا خارج از پول تمام می شود یا اینکه آیا یک شرکت برآوردهای سود را از دست می دهد یا شکست می خورد، استفاده می شود.

جهت کسب اطلاعات بیشتر و پیشبرد اهداف خود در پروژه یا کسب و کاری که در دست دارید می توانید از مشاوره آماری لنسرسرا بهره مند شوید. پس فرصت را از دست ندهید و همین حالا تماس بگیرید.