آزمون t تک نمونه ای چیست؟ محاسبه و اجرا در spss

چکیده مقاله:
آزمون t تک نمونه ای یکی از روش های آماری پرکاربرد است که برای مقایسه میانگین یک نمونه آماری با یک مقدار ثابت (معمولا یک مقدار فرضی یا معیار) به کار می رود. این آزمون برای زمانی مناسب است که محقق بخواهد بررسی کند آیا میانگین مشاهده شده در یک نمونه آماری با مقدار مورد انتظار تفاوت معناداری دارد یا خیر. از این آزمون می توان در حوزه های مختلف پژوهشی، از جمله علوم اجتماعی، بهداشت، آموزش و مهندسی، استفاده کرد. فرضیه صفر در این آزمون معمولا بیان می کند که تفاوت معناداری بین میانگین نمونه و مقدار فرضی وجود ندارد، در حالی که فرضیه جایگزین نشان دهنده وجود تفاوت معنادار است.

یکی از مزایای آزمون t تک نمونه ای، سادگی و کارایی آن در تحلیل داده های کوچک است، به شرط آن که داده ها از توزیع نرمال پیروی کنند. این روش به ویژه در مواقعی مفید است که داده های موجود محدود باشد و محقق بخواهد به سرعت نتیجه گیری های اولیه ای انجام دهد. به عنوان مثال، می توان از این آزمون برای ارزیابی اینکه آیا میانگین نمرات یک کلاس خاص با میانگین ملی تفاوت دارد یا خیر، استفاده کرد. برای دستیابی به نتایج معتبر از این آزمون، باید فرضیات اصلی آن، از جمله نرمال بودن داده ها و استقلال مشاهدات، به دقت بررسی شود.

آزمون تی تک نمونه ای چیست؟

آزمون تی تک نمونه‌ای بررسی می کند که آیا میانگین یک جامعه به طور آماری با یک مقدار مشخص یا فرضیه‌ای متفاوت است یا خیر. این آزمون یک آزمون پارامتریک است.

• آزمون تی (T-test)

این آزمون همچنین با نام زیر شناخته می شود:

• Single Sample t Test
• One Sample t Test

متغیری که در این آزمون استفاده می شود به نام زیر شناخته می شود:

• متغیر آزمون (Test variable)

در آزمون T تک نمونه ای، میانگین متغیر آزمون با یک “مقدار آزمون (test value)” مقایسه می شود، که این مقدار، یک مقدار مشخص یا فرضیه‌ای از میانگین در جامعه است. مقدار آزمون ممکن است از مرور منابع علمی، سازمان های پژوهشی معتبر، الزامات قانونی یا استانداردهای صنعتی به دست آید. به عنوان مثال:

• ماشین آلات یک کارخانه خاص قرار است بطری ها را با ۱۵۰ میلی لیتر محصول پر کنند. مدیر کارخانه می خواهد یک نمونه تصادفی از بطری ها را بررسی کند تا اطمینان حاصل شود که ماشین ها بیش از حد یا کمتر از حد مجاز بطری ها را پر نمی کنند.
• سازمان حفاظت از محیط زیست ایالات متحده (EPA) سطوح مجاز سرب در منازل را تعیین کرده است: حداکثر ۱۰ میکروگرم در هر فوت مربع برای کف ها و حداکثر ۱۰۰ میکروگرم در هر فوت مربع برای آستانه پنجره ها (از دسامبر ۲۰۲۰). یک بازرس می خواهد بررسی کند که آیا نمونه های گرفته شده از واحدهای یک ساختمان آپارتمانی از سطح مجاز تجاوز کرده اند یا خیر.

• مشاوره آماری

کاربردهای متداول آزمون تی تک نمونه ای

آزمون تی تک نمونه‌ای معمولاً برای آزمودن موارد زیر استفاده می شود:

• تفاوت آماری میان میانگین و یک مقدار مشخص یا فرضیه‌ای از میانگین در جامعه.
• تفاوت آماری میان نمره تغییر و صفر.

این رویکرد شامل ایجاد یک نمره تغییر از دو متغیر و سپس مقایسه میانگین نمره تغییر با صفر است، که نشان می دهد آیا تغییری بین دو نقطه زمانی برای اندازه گیری های اولیه رخ داده است یا خیر. اگر میانگین نمره تغییر به طور معناداری با صفر متفاوت نباشد، تغییری معنادار رخ نداده است.

توجه: آزمون تی تک نمونه ای تنها می تواند میانگین یک نمونه را با یک ثابت مشخص مقایسه کند. این آزمون نمی تواند میانگین های چند گروه را با یکدیگر مقایسه کند. اگر بخواهید میانگین های چند گروه را مقایسه کنید، احتمالاً نیاز به اجرای آزمون تی نمونه های مستقل (برای مقایسه میانگین های دو گروه) یا آنالیز واریانس یک طرفه (برای مقایسه میانگین های دو یا چند گروه) دارید.

الزامات داده ها در آزمون T تک نمونه ای

داده های شما باید الزامات زیر را داشته باشند:

• متغیر آزمون پیوسته باشد (یعنی در سطح فاصله ای یا نسبی).
• نمرات متغیر آزمون مستقل باشند (یعنی استقلال مشاهدات).
  • بین نمرات متغیر آزمون نباید رابطه ای وجود داشته باشد.
  • نقض این فرض باعث نادرست شدن مقدار p می شود.
• نمونه تصادفی داده ها از جامعه.
• توزیع نرمال (تقریباً) نمونه و جامعه برای متغیر آزمون.
  • توزیع های غیرنرمال، به ویژه آن هایی که دارای دم ضخیم یا انحراف شدید هستند، توان آزمون را به شدت کاهش می دهند.
  • در نمونه های متوسط یا بزرگ، نقض نرمال بودن ممکن است همچنان مقادیر p دقیقی ارائه دهد.
• همگنی واریانس ها (یعنی واریانس ها تقریباً در نمونه و جامعه برابر باشند).
• نبود نقاط پرت.

• آزمون Z در آمار چیست؟

مفروضات آزمون تی تک نمونه

فرضیه صفر (H0) و فرضیه جایگزین (H1) (دوطرفه) در آزمون تی تک نمونه ای به صورت زیر بیان می شوند:

• H0: µ = µ0 (“میانگین جامعه برابر با میانگین [پیشنهادی] جامعه است”)
• H1: µ ≠ µ0 (“میانگین جامعه برابر با میانگین [پیشنهادی] جامعه نیست”)

که در آن µ میانگین “واقعی” جامعه و µ0 مقدار پیشنهادی میانگین جامعه است.

• تحلیل آماری

نحوه محاسبه آزمون T تک نمونه ای

آماره آزمون در آزمون تی تک نمونه ای با $t$ نشان داده می شود که از فرمول زیر محاسبه می گردد:

که در آن:

تعاریف:

• μ0: مقدار آزمون (ثابت پیشنهادی برای میانگین جامعه).
• x: میانگین نمونه.
• n: حجم نمونه (تعداد مشاهدات).
• s: انحراف معیار نمونه.
• ​sx: خطای استاندارد برآورد شده میانگین (n)s/sqrt.

مقدار t محاسبه شده سپس با مقدار بحرانی t از جدول توزیع تی مقایسه می شود که بر اساس درجه آزادی df=n-1 و سطح اطمینان انتخاب شده تعیین می گردد. اگر مقدار t محاسبه شده بیشتر از مقدار بحرانی باشد، فرض صفر رد می شود.

• آزمون F: تست F با فرمول، محاسبه و مثال دستی و اکسل

آماده‌سازی داده

داده های شما باید شامل یک متغیر عددی و پیوسته باشد (که در یک ستون نمایش داده می شود) و سطح اندازه گیری این متغیر باید در پنجره Variable View به عنوان Scale تعریف شود.

اجرای آزمون تی تک نمونه‌ای در SPSS

برای اجرای آزمون تی تک نمونه‌ای در SPSS، مراحل زیر را دنبال کنید:

1. رفتن به منو:
   • روی Analyze کلیک کنید.
   • سپس Compare Means را انتخاب کنید.
   • در نهایت روی One-Sample T Test کلیک کنید.
2. پنجره آزمون تی تک نمونه‌ای:
   • پنجره One-Sample T Test باز می شود، جایی که باید متغیرهای مورد استفاده در تحلیل را مشخص کنید.
   • تمامی متغیرهای موجود در مجموعه داده شما در لیست سمت چپ ظاهر می شوند.
3. انتخاب متغیرها:
   • متغیر(های) خود را انتخاب کنید و با کلیک روی دکمه فلش، آن را به بخش Test Variable(s) منتقل کنید.

   جزئیات مهم:

   • Test Variable(s): متغیری که میانگین آن با میانگین فرضی جامعه مقایسه می شود.
   • شما می توانید چندین متغیر را برای تحلیل به طور همزمان انتخاب کنید. تمامی این متغیرها با یک مقدار آزمون (Test Value) یکسان مقایسه خواهند شد.
   • Test Value: مقدار فرضی میانگین جامعه که متغیر(های) آزمون شما با آن مقایسه می شوند.
4. محاسبه اندازه اثر (اختیاری):
   • اگر گزینه Estimate effect sizes فعال شود، اندازه اثر — از جمله مقدار d کوهن — برای آزمون ها محاسبه و چاپ می شود.
   • توجه: محاسبه اندازه اثر در SPSS برای آزمون های تی از نسخه ۲۷ به بعد اضافه شده است. اگر این گزینه را نمی بینید، نسخه SPSS خود را بررسی کنید.
5. تنظیمات اضافی:
   • با کلیک روی Options می توانید درصد فاصله اطمینان و نحوه برخورد تحلیل با مقادیر گمشده را مشخص کنید:
     • Exclude cases analysis by analysis: موارد گمشده را فقط برای آنالیز جاری کنار می گذارد.
     • Exclude cases listwise: موارد گمشده را به طور کامل کنار می گذارد.
   • پس از انجام تنظیمات، روی Continue کلیک کنید.
6. اجرای آزمون:
   • روی OK کلیک کنید تا آزمون تی تک نمونه‌ای اجرا شود.

پس از اجرای آزمون، نتایج در خروجی SPSS نمایش داده می شوند و شامل آماره آزمون، مقدار p، میانگین نمونه، و اطلاعات دیگر است.

مثال آزمون t تک نمونه ای

بیان مسئله

طبق گزارش CDC، میانگین قد بزرگسالان ایالات متحده بالای 20 سال حدود 66.5 اینچ می باشد (69.3 اینچ برای مردان و 63.8 اینچ برای زنان).

در داده های نمونه ما، 435 دانشجوی یک کالج مورد بررسی قرار گرفته اند. می خواهیم با استفاده از آزمون تی تک نمونه ای بررسی کنیم که آیا میانگین قد دانشجویان این کالج به طور معناداری با 66.5 اینچ تفاوت دارد یا خیر. فرضیات صفر و جایگزین این آزمون به شرح زیر خواهند بود:

• H0: μHeight=66.5 (“میانگین قد برابر با 66.5 است”)
• H1: μHeight≠66.5 (“میانگین قد برابر با 66.5 نیست”)

قبل از آزمون

در داده های نمونه، از متغیر Height استفاده خواهیم کرد که یک متغیر پیوسته است و قد هر پاسخ دهنده را بر حسب اینچ نشان می دهد. دامنه مقادیر این متغیر از 55.00 تا 88.41 می باشد (Analyze > Descriptive Statistics > Descriptives).

برای درک بهتر توزیع داده ها و مشاهده اینکه آیا میانگین فرض شده به میانگین نمونه نزدیک است یا خیر، یک نمودار هیستوگرام ایجاد می کنیم. برای این کار:

1. روی Graphs > Legacy Dialogs > Histogram کلیک کنید.
2. متغیر Height را به کادر Variable منتقل کنید و روی OK کلیک کنید.

افزودن خطوط مرجع عمودی

برای افزودن خطوط مرجع عمودی در محل میانگین (یا محل دیگر):

1. روی نمودار دوبار کلیک کنید تا Chart Editor باز شود.
2. سپس روی Options > X Axis Reference Line کلیک کنید.
3. در پنجره Properties می توانید یک مقدار خاص برای محور $x$ وارد کنید یا گزینه ای را انتخاب کنید که خط مرجع در میانگین یا میانه نمونه قرار گیرد.
4. روی Apply کلیک کنید تا خط جدید به نمودار اضافه شود.

در اینجا دو خط مرجع اضافه کرده ایم:

• یکی در محل میانگین نمونه (خط مشکی پیوسته).
• دیگری در محل مقدار 66.5 (خط قرمز نقطه چین).

تحلیل هیستوگرام

از روی هیستوگرام مشاهده می شود که توزیع قد تقریبا به صورت متقارن حول میانگین است، اگرچه دمی کمی بلندتر در سمت راست دارد. خطوط مرجع نشان می دهند که میانگین نمونه کمی بیشتر از میانگین فرض شده است، اما این تفاوت خیلی زیاد نمی باشد. ممکن است نتیجه آزمون معنادار باشد.

اجرای آزمون

برای اجرای آزمون تی تک نمونه ای:

1. روی Analyze > Compare Means > One-Sample T Test کلیک کنید.
2. متغیر Height را به بخش Test Variable(s) منتقل کنید.
3. در کادر Test Value مقدار 66.5 را وارد کنید.
4. روی OK کلیک کنید تا آزمون اجرا شود.

کد دستوری (Syntax)

اگر از SPSS نسخه 27 یا بالاتر استفاده می کنید، کد دستوری برای اجرای آزمون به صورت زیر خواهد بود:

T-TEST
TESTVAL=66.5/
MISSING=ANALYSIS/
VARIABLES=Height/
ES DISPLAY(TRUE)/
.CRITERIA=CI(.95)/

اگر از SPSS Statistics 26 یا قبل استفاده می کنید:

T-TEST
TESTVAL=66.5/
MISSING=ANALYSIS/
VARIABLES=Height/
.CRITERIA=CI(.95)/

خروجی

جداول

در خروجی آزمون، دو بخش اصلی مشاهده می شود: One-Sample Statistics و One-Sample Test.

1. One-Sample Statistics
   این بخش اطلاعات پایه ای درباره متغیر انتخاب شده (در اینجا، Height) ارائه می دهد که شامل:

• حجم نمونه معتبر (n) بدون مقادیر گمشده.
• میانگین.
• انحراف معیار.
• خطای استاندارد میانگین.

در این مثال، میانگین قد نمونه 68.03 اینچ است و بر اساس 408 مشاهده معتبر (بدون مقادیر گمشده) محاسبه شده است.

2. One-Sample Test
   این بخش نتایج اصلی آزمون تی تک نمونه ای را نمایش می دهد:

جزئیات:

• A Test Value: مقدار آزمونی که در کادر Test Value وارد کرده ایم (در اینجا، 66.5).
• B t Statistic: مقدار آماره آزمون تی که با t نشان داده می شود. در این مثال، t=5.810. توجه کنید که t با تقسیم اختلاف میانگین (E) بر خطای استاندارد میانگین محاسبه می شود (مقادیر مربوطه در بخش One-Sample Statistics ارائه شده اند).
• C df: درجه آزادی آزمون. برای آزمون تی تک نمونه ای، df=n−1. در اینجا، df=408−1=407.
• D Significance (One-Sided p and Two-Sided p): مقادیر p مربوط به یکی از فرضیه های جایگزین احتمالی یک طرفه (در این مورد، μHeight > 66.5) و فرضیه جایگزین دو طرفه (µHeight ≠ 66.5) است. در بیان مسئله بالا، ما فقط به فرضیه جایگزین دو طرفه علاقه مند بودیم.
• E Mean Difference: اختلاف میانگین مشاهده شده (میانگین نمونه از بخش One-Sample Statistics) و میانگین مورد انتظار (مقدار آزمون (A)). علامت اختلاف میانگین با علامت مقدار t همخوانی دارد. مقدار مثبت t در اینجا نشان می دهد که میانگین قد نمونه از مقدار فرضی (66.5) بیشتر است.
• F Confidence Interval for the Difference: فاصله اطمینان برای اختلاف بین مقدار فرضی میانگین و میانگین نمونه.

تصمیم گیری و نتیجه گیری

مقدار فرضی میانگین جامعه μ0=66.5 اینچ بود، که میانگین تقریبی قد بزرگسالان در ایالات متحده می باشد.

• از آنجا که p<0.001، فرض صفر H0​ را رد می کنیم.
• نتیجه می گیریم که میانگین قد دانشجویان این کالج به طور معناداری با میانگین فرض شده (66.5 اینچ) تفاوت دارد.

بیان نتایج

بر اساس نتایج:

1. تفاوت معناداری در میانگین قد دانشجویان این کالج و میانگین بزرگسالان ایالات متحده وجود دارد (p<.001).
2. میانگین قد دانشجویان این کالج حدود 1.5 اینچ بلندتر از میانگین جمعیت بزرگسال ایالات متحده می باشد (فاصله اطمینان 95 درصد: [1.013, 2.050]).