کشیدگی بیش از حد چیست ؟ تعریف، انواع، مثال

چکیده مقاله :
کشیدگی بیش از حد یک اندازه گیری آماری است که شکل توزیع احتمال را توصیف می کند. “اوج” و “چاقی” یک توزیع را نسبت به توزیع نرمال اندازه گیری می کند که اغلب به عنوان معیار استفاده می شود. گفته می شود توزیع با کشیدگی بیشتر از 3 دارای کشیدگی اضافی است، در حالی که توزیع با کشیدگی کمتر از 3 گفته می شود که دارای کشیدگی منفی یا پلاتیکورتیک است. کشیدگی بیش از حد می تواند بینش هایی را در مورد رفتار یک مجموعه داده ارائه دهد، به ویژه در زمینه هایی مانند امور مالی و مدیریت ریسک، جایی که درک احتمال وقوع رویدادهای شدید بسیار مهم است. کشیدگی بیش از حد نیز می‌تواند پیامدهای مهمی برای استنتاج آماری داشته باشد، زیرا ممکن است بر عملکرد آزمون‌های آماری استاندارد مانند آزمون t تأثیر بگذارد. بنابراین درک کشیدگی بیش از حد برای هر کسی که با داده کار می کند مهم است.

1- کشیدگی بیش از حد چیست ؟ Excess Kurtosis

اصطلاح کشیدگی بیش از حد به معیاری اشاره دارد که در آمار و نظریه احتمال استفاده می شود و ضریب کشیدگی را با توزیع نرمال مقایسه می کند. کورتوسیس یک اندازه گیری آماری است که برای توصیف اندازه دم در یک توزیع استفاده می شود. کشیدگی بیش از حد به تعیین میزان ریسک در یک سرمایه گذاری خاص کمک می کند. این سیگنال نشان می دهد که احتمال به دست آوردن یک نتیجه یا مقدار شدید از رویداد مورد نظر بیشتر از آن چیزی است که در یک توزیع احتمالی طبیعی نتایج یافت می شود.

کشیدگی بیش از حد یک اندازه گیری آماری است که شکل توزیع احتمال را توصیف می کند. این معیاری است برای سنجش “اوج” و “چاقی” یک توزیع نسبت به توزیع نرمال، که اغلب به عنوان معیار استفاده می شود. اصطلاح “زیاد” به این دلیل استفاده می شود که کشش را نسبت به کشیدگی توزیع نرمال اندازه گیری می کند که دارای مقدار 3 است. به توزیعی با کشیدگی بزرگتر از 3 گفته می شود که دارای کشیدگی اضافی است، در حالی که توزیع با کشیدگی کمتر گفته می شود. گفته می شود که بیش از 3 دارای کشیدگی منفی یا پلاتیکورتیک است.

کشیدگی بیش از حد مهم است زیرا می تواند بینشی در مورد رفتار یک مجموعه داده ارائه دهد. به عنوان مثال، یک مجموعه داده با کشیدگی بالا به احتمال زیاد دارای مقادیر شدیدتر از مجموعه داده با کشیدگی کم است. این می تواند در زمینه هایی مانند مدیریت مالی و ریسک مهم باشد، جایی که درک احتمال وقوع رویدادهای شدید بسیار مهم است.

یک مثال رایج از توزیع با کشیدگی بیش از حد، توزیع t است. این توزیع دارای دم های سنگین تری نسبت به توزیع معمولی است که باعث می شود کشش بالاتری داشته باشد. این بدان معناست که احتمال وقوع رویدادهای شدید در توزیع t بیشتر از توزیع نرمال است. مثال دیگر توزیع لگ نرمال است که اغلب برای مدل سازی توزیع بازده مالی استفاده می شود. توزیع لگ نرمال دارای کشش بالاتری نسبت به توزیع نرمال است، به این معنی که احتمال بازدهی شدید نسبت به توزیع نرمال بیشتر است.

روش‌های مختلفی برای اندازه‌گیری کشیدگی وجود دارد، اما یکی از رایج‌ترین روش‌ها، fourth standardized moment است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

kurtosis = (1/n) * sum((xi – x_bar)^4) / s^4 – 3

که در آن n تعداد مشاهدات، xi مشاهده i ام، x_bar میانگین نمونه، و s انحراف استاندارد نمونه است. عبارت (1/n) یک عامل عادی سازی است که تضمین می کند که کشش در مجموعه داده ها با اندازه های مختلف نمونه قابل مقایسه است.

کشیدگی بیش از حد نیز می تواند پیامدهای مهمی برای استنتاج آماری داشته باشد. به عنوان مثال، اگر یک مجموعه داده دارای کشیدگی بیش از حد باشد، ممکن است آزمون‌های آماری استاندارد مانند آزمون t مناسب نباشند. این به این دلیل است که این آزمون‌ها فرض می‌کنند که داده‌ها به طور معمول توزیع شده‌اند، که اگر داده‌ها دارای کشیدگی بیش از حد باشند ممکن است اینطور نباشد.

به طور خلاصه، کشیدگی بیش از حد معیاری برای سنجش “اوج” و “چاقی” یک توزیع نسبت به توزیع نرمال است. این یک مفهوم مهم در آمار است و می تواند بینشی در مورد رفتار یک مجموعه داده ارائه دهد. کشیدگی بیش از حد می تواند پیامدهای مهمی برای استنتاج آماری داشته باشد و می تواند بر عملکرد آزمون های آماری استاندارد تأثیر بگذارد. بنابراین درک کشیدگی بیش از حد برای هر کسی که با داده ها کار می کند بسیار مهم است، به ویژه در زمینه هایی مانند امور مالی و مدیریت ریسک که رویدادهای شدید نگرانی خاصی دارند.

نکات کلیدی

• کشیدگی اضافی ضریب کشیدگی را با توزیع نرمال مقایسه می کند.
• کشیدگی بیش از حد یک ابزار ارزشمند در مدیریت ریسک است زیرا نشان می دهد که آیا سرمایه گذاری مستعد نتایج شدید است یا خیر.
• کشیدگی بیش از حد می تواند مثبت (توزیع لپتوکورتیک)، منفی (توزیع پلاتیکورتیک)، و نزدیک به صفر (توزیع مزوکورتیک) باشد.

جهت آشنایی بیشتر می توانید مقاله زیر را با عنوان تحلیل آماری مطالعه نمایید.

• تحلیل آماری

• کشیدگی چیست ؟ 

• توزیع پلاتیکورتیک چیست ؟ 

• توزیع لپتوکورتیک چیست ؟ 

2- مفهوم کشیدگی اضافی

Kurtosis اندازه گیری می کند که دم توزیع در مقایسه با مرکز توزیع چقدر چاق است. دنباله های یک توزیع تعداد رویدادهایی را که خارج از محدوده نرمال رخ داده اند اندازه گیری می کند. بر خلاف چولگی، کشیدگی مقادیر شدید دم را اندازه می‌گیرد. کشیدگی بیش از حد به این معنی است که توزیع نتایج رویداد دارای نمونه‌های زیادی از نتایج پرت است که باعث ایجاد دم چاق در منحنی توزیع زنگ‌شکل می‌شود. توزیع های نرمال دارای کشش سه هستند. بنابراین، کشیدگی اضافی را می توان با کم کردن کشیدگی از سه محاسبه کرد.

از آنجایی که توزیع‌های نرمال دارای کشیدگی سه هستند، کشیدگی اضافی را می‌توان با کم کردن کشیدگی از سه محاسبه کرد.

کشیدگی بیش از حد یک ابزار مهم در امور مالی و به طور خاص در مدیریت ریسک است. با کشیدگی بیش از حد، هر رویداد مورد بحث مستعد نتایج شدید است. این نکته مهمی است که هنگام بررسی نمودارهای هیستوریکال از یک سهام یا پرتفوی خاص باید در نظر گرفته شود. هرچه ضریب کشیدگی بالاتر از سطح نرمال باشد – یا دم‌ها در نمودار توزیع بازگشت چاق‌تر باشد – احتمال اینکه بازده‌های آتی بسیار بزرگ یا بسیار کوچک باشند بیشتر است. قیمت‌های سهام با احتمال بالاتری از نقاط پرت در سمت مثبت یا منفی میانگین قیمت بسته شدن، می‌توان گفت دارای چولگی مثبت یا منفی هستند که می‌تواند مربوط به کشش باشد.

• چولگی یا خمیدگی در آمار چیست ؟ 

3- انواع کشیدگی اضافی

مقادیر کشیدگی اضافی می تواند منفی یا مثبت باشد. هنگامی که مقدار کشیدگی اضافی منفی باشد، توزیع پلاتیکورتیک نامیده می شود. این نوع توزیع دارای دمی نازک تر از توزیع معمولی است. وقتی برای بازده سرمایه‌گذاری اعمال می‌شود، توزیع‌های پلاتیکورتیک – آنهایی که دارای کشیدگی بیش از حد منفی هستند – معمولاً نتایجی را ایجاد می‌کنند که خیلی شدید نیستند، که برای سرمایه‌گذارانی که نمی‌خواهند ریسک زیادی انجام دهند، عالی است.

هنگامی که کشیدگی بیش از حد مثبت باشد، دارای یک توزیع لپتوکورتیک است. دم در این توزیع سنگین تر از توزیع معمولی است، که نشان دهنده درجه بالایی از ریسک است. بازده سرمایه گذاری با توزیع لپتوکورتیک یا کشیدگی بیش از حد مثبت احتمالاً دارای مقادیر شدید خواهد بود. سرمایه‌گذارانی که مایلند و می‌توانند ریسک‌های زیادی را بپذیرند، احتمالاً مایل به سرمایه‌گذاری در خودرویی هستند که دارای کشش اضافی مثبت است.

کشیدگی بیش از حد نیز می تواند در حد صفر یا نزدیک به صفر باشد، بنابراین احتمال یک نتیجه شدید نادر است. این به عنوان توزیع مزوکورتیک شناخته می شود. دم این نوع توزیع شبیه به توزیع نرمال است.

• توزیع نرمال 

4- مثال از کورتوز اضافی

بیایید از یک مثال فرضی از Excess Kurtosis استفاده کنیم. اگر ارزش بسته شدن سهام ABC را به مدت یک سال هر روز دنبال کنید، سابقه بسته شدن سهام در یک ارزش مشخص را خواهید داشت. اگر نموداری را با مقادیر بسته شدن در امتداد محور X و تعداد نمونه های آن مقدار بسته شدنی که در امتداد محور Y یک نمودار رخ داده است بسازید، یک منحنی زنگی شکل ایجاد خواهید کرد که توزیع مقادیر بسته شدن سهام را نشان می دهد. . اگر فقط برای چند قیمت بسته شدن تعداد زیادی از رخدادها وجود داشته باشد، نمودار منحنی زنگوله‌ای بسیار باریک و شیب‌دار خواهد داشت. اگر مقادیر بسته شدن بسیار متفاوت باشد، زنگ شکل گسترده‌تری با اضلاع شیب کمتری خواهد داشت. دنباله‌های این زنگ به شما نشان می‌دهند که قیمت‌های بسته شدن با چند بار انحراف شدید رخ می‌دهد، زیرا نمودارهایی با مقادیر پرت بسیار دارای دم‌های ضخیم‌تری از هر طرف زنگ هستند.