روش وتری در متلب: محاسبه، کد، مزایا و کاربردها

چکیده مقاله:
روش وتری در متلب (secant method) یک ابزار تکراری در ریاضیات و روش های عددی برای یافتن ریشه تقریبی معادلات چندجمله ای می باشد. در طی فرآیند تکرار، این روش فرض می کند که تابع در ناحیه مورد نظر تقریباً خطی است. اگرچه متد سکانت به صورت مستقل توسعه یافته است، اما اغلب به عنوان یک تقریب تفاضل محدود از روش نیوتن در نظر گرفته می شود. با این حال، به دلیل عدم نیاز به مشتق، معمولاً به عنوان جایگزینی برای روش نیوتن مورد استفاده قرار می گیرد. در ادامه به روش وتری در متلب، همچنین برنامه ای برای روش سکانت در نرم افزار MATLAB همراه با پیش زمینه ریاضی آن، یک مثال عددی، مزایا و معایب آن خواهیم پرداخت.

روش وتری در متلب چیست؟

روش وتری یکی از روش های عددی برای یافتن ریشه معادلات غیر خطی می باشد که در بسیاری از مسائل مهندسی و علمی کاربرد دارد. این روش بر پایه روش نصف کردن و روش نیوتن رافسون بنا شده است و نسبت به روش نصف کردن همگرایی سریع تری دارد. در روش وتری، دو نقطه روی محور افقی انتخاب می شوند که تابع در آن ها مقادیر متفاوتی از نظر علامت دارد. سپس، یک خط وتر بین این دو نقطه رسم شده و محل برخورد این خط با محور افقی به عنوان تخمین جدید برای ریشه انتخاب می شود. این فرآیند تا زمانی که مقدار تابع در نقطه تخمین شده به مقدار مورد نظر نزدیک شود، تکرار می گردد.

• نرم افزار متلب چیست؟

در نرم افزار متلب، روش وتری را می توان با استفاده از یک کد ساده پیاده سازی کرد. ابتدا دو مقدار اولیه که تابع در آن ها مقادیر مخالف دارد مشخص می شوند. سپس، از فرمول روش وتری برای محاسبه مقدار جدید استفاده شده و مقدار قدیمی جایگزین می شود. این روند در یک حلقه تکرار اجرا شده و در هر مرحله مقدار جدید به دست آمده به جای یکی از مقادیر قبلی قرار می گیرد. شرط توقف این الگوریتم می تواند مقدار خطا یا تعداد مشخصی از تکرارها باشد. روش وتری به دلیل عدم نیاز به مشتق گیری، در مسائل پیچیده که مشتق تابع به راحتی محاسبه نمی شود، بسیار مفید است.

• برنامه نویسی

در حالی که روش نیوتن سریع است، یک نقطه ضعف بزرگ دارد: برای استفاده از آن باید مشتق تابع f را بدانید. در بسیاری از کاربردهای “دنیای واقعی”، این می تواند مشکل ساز باشد زیرا فرم تابعی مشتق آن شناخته شده نیست. یک روش طبیعی برای حل این مشکل می تواند استفاده از تخمین مشتق با استفاده از فرمول زیر باشد:

برای مشتق روش سکانت از تکرار قبلی برای انجام چیزی مشابه استفاده می کند. این روش مشتق را با استفاده از تقریب قبلی تخمین می زند. در نتیجه، همگرایی آن کمی کندتر از روش نیوتن به سمت راه حل است:

از آنجایی که باید هم تقریب فعلی و هم تقریب قبلی را به خاطر بسپاریم، دیگر نمی توانیم کدی به سادگی کد مربوط به روش نیوتن داشته باشیم. روش سکانت یک فرایند یافتن ریشه در تحلیل عددی است که از یک سری ریشه های خطوط سکانت برای تقریب بهتر ریشه یک تابع f استفاده می کند. روش وتری در MATLAB یک تکنیک عددی است که برای یافتن ریشه (یا صفر) یک تابع استفاده می شود. این روش تکراری است که ریشه معادله f(x)=0 را با استفاده از خطوط سکانت (خطوطی که تابع را در دو نقطه قطع می کنند) تقریب می زند. روش سکانت یک اصلاح از روش نیوتن-رافسون است اما نیازی به مشتق تابع ندارد. در عوض، این روش از دو حدس اولیه و مقادیر تابع در این حدس ها برای تخمین ریشه استفاده می کند.

• مشاوره برنامه نویسی

استنتاج ریاضی روش وتری در متلب

منحنی f(x)=0 را در نظر بگیرید، همان طور که در شکل زیر نشان داده شده است:

روش سکانت، نقطه تقاطع منحنی و محور X (یعنی ریشه معادله ای که منحنی را نمایش می دهد) را تا حد امکان دقیق تخمین می زند. برای این منظور، از توالی ریشه های خط سکانت در منحنی استفاده می کند.

• مزایا و معایب زبان برنامه نویسی متلب

فرض کنید X0 و X1 مقادیر اولیه حدس زده شده باشند. سپس، یک خط سکانت از طریق نقاط (X1 , f(X1)) و (X0 , f(X0)) بر روی منحنی رسم می کنیم. معادله این خط سکانت به صورت زیر داده می شود:

اگر X ریشه معادله داده شده باشد، باید رابطه زیر را در بر بگیرد:

y=0 , f(X)=0

با جایگذاری y=0 در معادله بالا و حل آن برای X، به رابطه زیر می رسیم:

اکنون، با در نظر گرفتن این مقدار جدید X به عنوان X2 و تکرار همین فرآیند برای X3 , X4 ,…، به روابط زیر خواهیم رسید:

فرمول روش وتری در متلب

این همان فرمول مورد نیاز است که در برنامه مربوط به روش وتری در متلب مورد استفاده قرار خواهد گرفت.

• روش ژاکوبی در متلب همراه با کد، مزایا و کاربرد

مزایای روش وتری در متلب نسبت به سایر روش های یافتن ریشه

1. نرخ همگرایی سریع تر نسبت به روش دو بخشی
   روش وتری نسبت به روش دو بخشی سرعت همگرایی بیشتری دارد، زیرا به جای استفاده از میانگین دو مقدار اولیه، از خط وتر بین دو نقطه برای تخمین مقدار جدید استفاده می کند. این ویژگی باعث می شود که روش وتری در بسیاری از موارد تعداد تکرارهای کمتری نسبت به روش دو بخشی داشته باشد و در نتیجه سریع تر به جواب نزدیک شود.

2. عدم نیاز به محاسبه مشتق تابع
   برخلاف روش نیوتن-رافسون که نیاز به مشتق گیری از تابع دارد، روش وتری تنها از مقادیر تابع در دو نقطه برای محاسبه مقدار جدید استفاده می کند. این ویژگی باعث می شود که روش وتری برای توابعی که مشتق آن ها به سختی محاسبه می شود یا به صورت تحلیلی در دسترس نیستند، گزینه بسیار مناسبی باشد.

3. کاهش هزینه محاسباتی
   در روش نیوتن-رافسون، در هر تکرار نیاز به محاسبه مشتق تابع می باشد که ممکن است پردازش بیشتری را طلب کند. اما در روش وتری، تنها از مقادیر تابع در دو نقطه استفاده می شود که منجر به کاهش حجم محاسبات در هر تکرار می گردد. در نتیجه، این روش برای محاسبات عددی در مقیاس بزرگ می تواند مفیدتر باشد.

4. کاربرد مناسب برای توابع نامنظم
   در برخی از توابع که دارای ناپیوستگی یا رفتار غیر معمولی در مشتقات خود هستند، روش هایی که به مشتق تابع وابسته اند ممکن است عملکرد ضعیفی داشته باشند. اما روش وتری با استفاده از تقریب خطی بین دو نقطه، می تواند در چنین شرایطی به خوبی عمل کند و بدون نیاز به مشتق گیری به جواب نزدیک شود.

5. سادگی پیاده سازی در متلب
   روش وتری به سادگی در نرم افزار متلب قابل پیاده سازی است و نیاز به محاسبات پیچیده ندارد. تنها با استفاده از یک حلقه تکرار و اعمال فرمول روش وتری می توان به جواب دست یافت. این سادگی باعث می شود که روش وتری برای دانشجویان و مهندسانی که به دنبال روشی سریع و آسان برای یافتن ریشه یک تابع هستند، انتخاب مناسبی باشد.

• شبیه سازی بازوی ربات با متلب

معایب و محدودیت های روش وتری در متلب نسبت به سایر روش های یافتن ریشه

1. عدم همگرایی در صورت برابر بودن مقادیر تابع در دو نقطه
   یکی از مشکلات اصلی روش وتری زمانی رخ می دهد که مقدار تابع در دو نقطه متوالی برابر باشد، یعنی f(Xn)=f(Xn−1)f(X_n) = f(X_{n-1})f(Xn​)=f(Xn−1​). در این حالت، مخرج کسر در فرمول روش وتری صفر شده و تقسیم بر صفر رخ می دهد که منجر به عدم امکان محاسبه مقدار جدید و شکست روش می گردد.

2. امکان عدم همگرایی در صورت مماس بودن محور X بر منحنی تابع
   اگر خط وتر بین دو نقطه تقریباً مماس بر منحنی تابع باشد، مقدار جدید محاسبه شده ممکن است بسیار دور از مقدار صحیح باشد یا به نوسان بین مقادیر مختلف منجر شود. این موضوع باعث می شود که روش وتری در برخی از توابع خاص عملکرد ضعیفی داشته باشد و به جواب همگرا نشود.

3. نیاز به دو مقدار اولیه مناسب
   روش وتری برای شروع به دو مقدار اولیه نیاز دارد که تابع در آن ها مقادیر متفاوتی از نظر علامت داشته باشد. انتخاب نامناسب این دو مقدار می تواند باعث نوسان جواب ها یا حتی همگرایی به یک مقدار اشتباه شود. این در حالی است که روش هایی مانند نیوتن-رافسون تنها به یک مقدار اولیه نیاز دارند.

4. امکان کاهش سرعت همگرایی در برخی موارد
   اگرچه روش وتری نسبت به روش دو بخشی سریع تر است، اما در برخی از موارد خاص ممکن است سرعت همگرایی آن کاهش یابد. به عنوان مثال، اگر نقاط انتخاب شده در هر مرحله مقدار جدیدی را تولید کنند که فاصله زیادی از مقدار قبلی دارد، این روش ممکن است زمان بیشتری نسبت به روش های دیگر برای رسیدن به جواب دقیق صرف کند.

5. حساسیت به تغییرات تابع در بازه انتخابی
   در صورتی که تابع در بازه انتخابی تغییرات شدید داشته باشد یا دارای نقاط بحرانی باشد، روش وتری ممکن است در هر مرحله مقادیر متفاوتی را تولید کند که به همگرایی کند یا نوسانات شدید منجر شود. این موضوع می تواند باعث شود که روش وتری در برخی از مسائل عملکرد پایداری نداشته باشد.

• مقایسه متلب با پایتون

مثال پیاده سازی روش وتری در MATLAB

در این برنامه مربوط به روش سکانت در MATLAB، ابتدا معادله ای که باید حل شود، تعریف شده و با استفاده از تابع کتابخانه ای inline( ) به متغیری به نام a اختصاص داده می شود. سپس، مقادیر حدسی اولیه و میزان خطای مورد نظر مطابق با قواعد سینتکس MATLAB در برنامه وارد می شوند.

• شبیه سازی با متلب

برنامه از فرمول سکانت (که در استنتاج ریاضی پیش تر توضیح داده شد) برای محاسبه ریشه تابع ورودی استفاده می کند. در ادامه، یک نمونه خروجی از کد متلب مربوط به روش وتری ارائه شده است:

نمونه خروجی کد متلب به روش وتری

کاربرد روش وتری

روش سکانت در MATLAB برای حل معادلات غیرخطی و یافتن ریشه های توابع در مسائل عددی و مهندسی استفاده می شود. این روش به خصوص زمانی مفید است که مشتق تابع در دسترس نباشد یا محاسبه آن دشوار باشد، زیرا روش سکانت نیازی به مشتق ندارد.

• کاربرد متلب در ریاضیات

• یافتن ریشه های معادلات غیرخطی
  یکی از کاربردهای اصلی روش وتری، یافتن ریشه های معادلات غیرخطی است که به صورت تحلیلی قابل حل نیستند. در بسیاری از مسائل مهندسی و علمی، معادلات پیچیده ای وجود دارند که حل مستقیم آن ها دشوار یا غیرممکن است. روش وتری با تقریب زدن مقدار ریشه از طریق وتر بین دو نقطه، به یافتن جواب عددی این معادلات کمک می کند و در مقایسه با روش هایی مانند روش دو بخشی، سرعت همگرایی بیشتری دارد.

• کاربرد در مهندسی برق و مکانیک
  در مهندسی برق، روش وتری برای حل معادلات مربوط به مدارهای الکتریکی، تحلیل پایداری سیستم های کنترلی و بررسی پاسخ های غیرخطی به کار می رود. همچنین در مهندسی مکانیک، این روش برای محاسبه نیروها، گشتاورها و تحلیل ارتعاشات در سیستم های پیچیده استفاده می شود. به دلیل سرعت مناسب این روش و عدم نیاز به مشتق گیری، در محاسبات پیچیده ای که معادلات مشتق پذیر نیستند، گزینه مطلوبی محسوب می شود.

• حل معادلات در علم فیزیک
  در مسائل فیزیکی که شامل معادلات غیرخطی هستند، مانند محاسبه مسیر حرکت اجسام تحت نیروهای پیچیده، حل معادلات موج، جریان سیالات و میدان های الکتریکی و مغناطیسی، روش وتری بسیار مفید است. در این مسائل، به دلیل تغییرات شدید تابع در برخی نقاط، روش نیوتن-رافسون ممکن است کارایی نداشته باشد، اما روش وتری می تواند به یافتن پاسخ تقریبی کمک کند.

• مدل سازی واکنش های شیمیایی
  در شیمی محاسباتی و مدل سازی واکنش های شیمیایی، بسیاری از معادلات غیرخطی وجود دارند که برای پیش بینی رفتار واکنش ها باید حل شوند. به عنوان مثال، در شبیه سازی سینتیک واکنش های شیمیایی و تعیین نقاط تعادل، روش وتری یک ابزار کارآمد برای یافتن مقادیر مجهول در معادلات غیرخطی است. این روش به دلیل نیاز نداشتن به مشتق تابع، برای حل این نوع معادلات که ممکن است توابع پیچیده ای باشند، بسیار مناسب است.

• بهینه سازی و طراحی سیستم ها
  در بهینه سازی و طراحی سیستم های مهندسی، بسیاری از مسائل به یافتن مقادیر بهینه از طریق حل معادلات غیرخطی بستگی دارند. در کنترل فرآیندهای صنعتی، طراحی سیستم های الکترونیکی و بهینه سازی عملکرد تجهیزات، روش وتری به عنوان یک ابزار عددی مفید مورد استفاده قرار می گیرد. این روش به مهندسان کمک می کند تا مقدار دقیق متغیرهای کلیدی را بدون نیاز به تحلیل های پیچیده به دست آورند.

• کاربرد در تحلیل عددی و شبیه سازی رایانه ای
  در تحلیل عددی و حل مسائل پیچیده ریاضی که نمی توان به سادگی آن ها را حل تحلیلی کرد، روش وتری به عنوان یکی از روش های موثر برای تقریب زدن ریشه ها استفاده می شود. در برنامه های شبیه سازی رایانه ای که نیاز به محاسبه سریع و دقیق مقادیر مجهول دارند، مانند نرم افزارهای تحلیل سازه، دینامیک سیالات محاسباتی و سیستم های کنترل، روش وتری به دلیل سرعت محاسباتی بالاتر نسبت به برخی روش های دیگر، مورد استفاده قرار می گیرد.

• کاربرد در اقتصاد و مدل سازی مالی
  در اقتصاد و امور مالی، بسیاری از مدل های ریاضی شامل معادلات غیرخطی هستند که حل دقیق آن ها دشوار است. برای مثال، در مدل سازی رفتار بازارهای مالی، تحلیل نرخ بهره، بهینه سازی سبد سهام و پیش بینی قیمت دارایی ها، روش وتری می تواند برای حل معادلات غیرخطی مورد استفاده قرار گیرد. این روش به تحلیلگران کمک می کند تا تخمین های عددی دقیقی از متغیرهای اقتصادی به دست آورند.

• شبیه سازی